例题与习题的关系——以人教版“有理数”为例

林凤娇 (天津师范大学教育学部 300387)

1 引言

教材是学生从小接触的事物，可以简单地把数学教材分为三部分：正文、例题和习题．在初中数学的教学中，大多数教师都倾向于例题教学，这也足以说明例题的重要性．然而，例题和习题都是数学题，为什么有的题可供数学教师在课堂上一步一步地讲解示范给学生，有的题得让学生课后单独完成？本文从例题和习题的功能出发，来探寻例题和习题之间的关系．

2 例题与习题

2.1 例题的功能

例题的功能有基础性、精简性、典型性、示范性与代表性等．在数学教学过程中，例题起着举足轻重的作用.例题所放的位置可以在知识点前，这时它发挥着带领学生学习新知识的作用．例题所放的位置也可以在知识点后，此时它对巩固所学的新知识发挥了很大的作用．例题必须精挑细选又有着代表性，还能很好地起到示范作用．波利亚在《怎样解题》中曾提到：未来的数学家通过模仿和练习来学习．[1]所以例题的示范性尤为重要，典型的例题可以让学生更好地掌握刚学习的知识点．因此需要充分利用教科书例题的示范引领功能，尽最大可能发挥其潜在价值，力争做到以例启思、以例促思、以例带类，举一反三，触类旁通，达到对知识的深化理解．[2]

2.2 习题的功能

习题具有巩固性、多样性、层次性、灵活性和评价性．教材中的习题应具有巩固功能．初中数学教材的习题中的一部分会作为学生课后的作业，而课后作业的练习可以促进学生对新知识的掌握和理解，以达到复习的目的．因此，初中数学教材中的习题应帮助学生复习回忆所学的新知识，起到巩固新知的作用．习题的题型也是更加多样、灵活以及有层次．习题由浅到深、由简到繁，有基础题目，也有扩展提高题．习题还有着评价功能，数学教材中的习题作为课后作业布置时，学生可以通过习题的练习及时发现自己还存在的问题，教师也可以通过习题完成的反馈情况了解学生的学习情况．学生通过数学教材中的习题的自我评价自行调整学习状态，教师也可以通过习题的反馈进行教学评价，及时调整教学策略．

2.3 例题与习题的关系

2.3.1 包含关系

《现代汉语大辞典》中对“例题”的表述为：说明某一定理、定律或帮助学习的人掌握某一公式而设的作为范例的习题．由这句话可知，例题也是习题的一种，是在众多习题中精选出来的，所以说习题是包含例题的(图1)．

图1 例题与习题的包含关系

例题和习题都是为了学生更好地掌握一个知识点或概念而出现的．比如小学所学的偶数的概念，这个概念的内涵就是在整数中，能被2整除的数，也就是2的倍数2n．而偶数概念的外延就是2,4,6,8,26,…．再如，一元二次方程这个概念的内涵是ax2+bx+c(a≠0)，那么一元二次方程的外延是一切形如ax2+bx+c(a≠0)的式子．概念的内涵与外延之间存在一个反变关系．这种反变关系通俗易懂地讲就是概念的内涵小，那么概念的外延就大；概念的内涵大的，那么此概念的外延就比较小.就如平行四边形和四边形，平行四边形的概念内涵比四边形的概念内涵大，那么平行四边形的概念外延就比四边形的概念外延小．再回到例题与习题的包含关系上，可以这么理解，习题涉及的这个知识点或是概念的外延很大，但是上课无法永远穷尽，所以在有无限外延的习题当中挑选了具有代表性的这个概念的外延，也就是所说的例题．

人民教育出版社(以下简称人教版)2012年出版的初一教材第1章第1节给出了负数的概念：在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数．这也是负数概念的内涵，后面举的例题是：(1)一个月内，小明体重增加2 kg，小华体重减少1 kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；(2)某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况……这道例题是在综合考量学生对负数、正数和0的掌握．后面的习题有全国平均降水量、物体的正负移动、走路的东西方向、水位的升降和气温的变化等，由此无不看出，习题的范围比例题的范围更广．

2.3.2 补充关系

习题是例题的补充.一节课就45分钟，不可能满本教材全是例题，都让教师在课堂上讲解．正如《学记》里第七段所提及的：大学之教也，时教必有正业，退息必有居学．意思大致是大学的教学组织形式是：按时进行正课教学，课后从事课外作业．也如陆佃所说：“居学，言退息之所学也．”[3]不得不说，古人的想法极富智慧，而且也适合于现如今的一些教育现象．习题是例题的补充，让学生有更多时间来巩固自己在课堂上的所学的新知识．

例如，在有理数的加法第1章第3节中，通过物体先后运动的一个数学问题，总结出有理数加法法则有3条：法则一是同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；法则二是绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；法则三是一个数同0相加，仍得这个数．教师和学生一起总结完这些法则，下面紧跟着一道例题，包含两个小题：第一道是(-3)+(-9)；第二道是(-4.7)+3.9．可以看到这两道例题紧扣法则一和法则二，很有代表性．细看似乎漏掉了什么，比如同号的两数还有一种情况是都是正数；异号的两数也有正数大于负数的情况；互为相反数的两个数的加法和一个数与0的加法在例题中也未体现．但是在下面紧跟的练习题第二道中出现：(1)(-4)+(-6)；(2)4+(-6)；(3)(-4)+6；(4)(-4)+4；(5)(-4)+14；(6)(-14)+4；(7)6+(-6)；(8)0+(-6)．显而易见，习题对例题进行了很好的补充，除了正数和正数相加都涉及到了，这也体现了例题和习题的精简性.例题当中的两道小题都是选取了负数，能很好地巩固负数知识，而不是选取两个正数相加和一个大的正数减去一个小的负数，不然与小学低年级学习的数的加减法没有差别，这也引起了学生的冲突认知.教师上课利用这两道题能让学生更好地掌握本课的难点，再加上我们的知识点，学生可以完满地掌握本节的知识．同时，这也说明中学课本中的例题都经过认真筛选，都是数学中的“精品”，具有很强的典型性和代表性．

2.3.3 紧密关系

例题与习题必然是紧密相连、相辅相成的．就好比修建一栋大楼，这里的大楼可以看成学生和教师所使用的教材，那么一堂课所包含的知识点和例题不是常说的打地基，而要想把地基建得很牢固，是和习题紧密相关的，要用习题来对例题进行更好的巩固，进而更好地掌握知识点，以便把基础打扎实．后面再将知识与例题习题内化于心，在经历周测、月考、期中考试和期末考试后，将知识点、例题和习题学以致用，逐渐地搭建成楼层．后面的大楼能否修建得好，取决于每一步是否足够稳妥，是否将知识点、例题和习题完全掌握，它们贯穿于整个过程(图2)．

(3)由于浮选金精矿产率较小，金、铅浮选分离及铅细磨浸出工艺生产成本增加有限，远低于所获铅精矿以及金、银增加回收率所增效益。针对日处理24 t的金浸出系统，半年可收回基建投资。

图2 例题与习题的紧密关系

2.3.4 拔高关系

就如康德在《论教育学》中所谈及的，学习规则的同时学会对它的应用[4]．一方面，习题帮助学生复习回忆所学的新知识，起到巩固新知的作用．另一方面，习题也是例题的一个拔高，让学生在学会一些基础知识后，将其进行更高层次的运用，这也是根据学生的心理特征来的，先夯实基础，再多层次地运用．从例题和习题在教材中所占的篇幅和数量关系来看，习题更是一个载体，提高学生的思维水平、培养学生的研究创新意识和慢慢地积淀数学素养．而且有些习题自身也是知识点，是对教材知识点的补充和延续．

例如，在人教版初一教材的有理数加法过渡到有理数的减法时，有一道实验探究题“填幻方”．题目如下：

有人建议向火星发射如图3的图案，它叫作幻方，其中9个格子中的点数分别是1,2,3,4,5,6,7,8,9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15．如果火星上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物(人)．你能将-4,-3,-1,0,1,2,3,4这9个数分别填入幻方的9个空格中，使得处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数相加都得0吗？和同学交流一下，你们填这个幻方的方法相同吗？

图3 幻方

这道题很能吸引学生眼球，也能启发他们的思维，让其饶有趣味地运用有理数的加法法则二中互为相反数的两个数的和为0，也能培养学生自主探究的意识和交流表达的能力．

2.3.5 服务关系

例题和习题是相互服务的，它们最终都是为知识点服务、为学生的发展服务、为教师的传授服务．总而言之，最后的消费者是学生和教师．对于如何更好地做好服务，我们脑海里面肯定会冒出来一个念头：首先质量要好，保质保量．选取的题必须要精，要能直击教材所要求掌握的知识点或概念，需要很好地让学生明白概念的内涵与外延．量要适度，每个知识点或概念的考查要适量，切忌出现一个知识点题太多而另一个知识点吃不饱的现象，这也是很考验教材的编写者．

(-5)×(-3)，……同号两数相乘；

(-5)×(-3)=+( )，……得正；

5×3=15，……把绝对值相乘；

所以(-5)×(-3)=15．

又如，(-7)×4，……；

(-7)×4=-( )，……；

7×4=28，……；

所以(-7)×4=( )．

例题可以很好地为后面的习题服务，学生只有在掌握好例题之后，才能又快又准地解决习题．这也体现了例题的示范作用．例题和习题都能很好地为知识点服务，为使消费者(教师)更好地教、消费者(学生)更好地学(图4)．

图4 例题和习题与学生和教师的服务消费关系

3 建议

3.1 例题和习题应多让学生提出问题

不论是例题还是习题，都可以把它们称作数学问题．数学问题在学生学习和课堂教学中具有重要作用．学生所经历的数学问题不仅决定着他们学什么，而且决定着他们如何思考、理解、发展和使用数学．[5]但是笔者现在所接触的都是在让学生解答已经给出的问题，而不是给出一些已知条件，让学生来提出问题自己解答，或是小组一起解决．提出问题的高度也是学生整个思维或想法的呈现，能让学生大胆地去想，因为后面要解答，所以也是有依据地想．这样可以更好地发散学生思维，而不会将其束缚在给定的数学题中．这或许也会碰撞出想象不到的智慧．

3.2 例题和习题之间应注重变式

例题和习题都是为了让学生更好地掌握知识点，但是知识点的考查有方方面面，如果例题永远是正向的，习题也是正向的，那么长此下来势必会加大学生的定势思维．所以习题应该适当地作些变式，而不是简单地换个数字或换个情境，要让类型更多样；也可以稍微地与考试接轨一下，让学生觉得自己做习题有不一样的收获，而不是将学生推向一本又一本的练习册、一张又一张的教案．总之，让学生“吃透教材”，便会有满满的收获．

3.3 例题和习题应更有针对性

众所周知，学生的水平大多参差不齐，在实际教学中绝大部分习题往往是不区分学习能力以及学习成绩的，大家都学习同样的例题，都做着同样的习题，缺乏例题和习题的针对性.例题和习题应体现教学的层次性．在数量上要有弹性，不搞一刀切，给学生一个自主选择、协调发展的空间，让不同层次的学生都获得成功的体验．在内容上要具有针对性：一要针对本节内容.二要针对不同层次的学生.可以在例题后面适当附带能力要求高的思考题以满足一些“吃不饱”学生的要求.三要针对学生的知识储备，不能将例题习题演变成智力题．[6]

3.4 例题和习题应适当增加实践活动题

现在的例题和习题大多数都还是在纸面上的，很少有让初中生自己动手操作的题目、实践活动的题目．曾经在文献[7]中看到过这样一个案例，这个例子来自凯莉·埃瑟里奇老师．她描述了一个关于10年级英国学生写有关环境论文项目的情况．学生可以选择他们研究的环境问题，但是必须展现出与他们所选问题相关的知识以及写作技巧和交流技巧．在文章完成之后，学生们要运用他们所写的文章中的知识去处理现实中的问题．一组对文学并没有特殊的喜爱的男生，写了有关水污染的问题．这些男生在小组内协商完选择了一条在他们学校附近并被污染了的道格河作为目标．他们想出了一个解决方案并制定了计划．随后，他们获得了当地报纸捐赠的一个价值3 400美元的广告，以扩大人们对这个问题的关注．他们找到了一家咖啡厅，通过提供某种咖啡饮品来筹集资金．在学校放假两周后——需要注意的是这已经是在完成学分课程之后——这些孩子和当地电视台一起清理河道并向观众说明社区居民应该如何去做才能保证道格河未来不被污染．[7]当然，这在数学教材中不太适用，但是总说要提高学生的兴趣，不能光从教师的教法入手，也要深入其源头，从这个知识点、这个数学题自身出发．不得不说，这对教材编写者是一个很大的考验，但是一旦成功，会大大提高学生学习的自主性，因为这对学生来说已经不仅仅是一个任务，而是已经把它当做自己的事来完成．

3.5 例题和习题应以心理学知识为依据

数学是一门学科，当它由教师传授给学生时就变成了一门教育学科．在学习教育时我们都知道人的发展是有阶段性的，而这种阶段性发展与心理学有很大的关联．皮亚杰认为3～7岁的孩子处于前运算阶段，需要靠具体形象来进行思维；7～12岁的孩子处在具体运算思维阶段，可以进行一些逻辑推理，但还是要依靠具体的事物来进行思维；12～15岁的孩子处于形式运算阶段．初中阶段的孩子开始从直观思维向抽象思维过渡．还有从什么时候开始孩子有了可逆思维、在什么时候发展得更加完善，这都是教材编写者在例题习题编排的时候需要内化于心的．抓住思维发展的阶段，也就是抓住了教育的关键期，在适当的时候给予学生合适的例题习题，这对掌握知识的作用不可估量．正如维果斯基提出的“最近发展区”理论，可以通过设置梯度递进的例题和习题，来突破学生的每一个最近发展区．