2020年浙江省高中数学竞赛解析几何题的探究及推广

吴 江 (浙江省杭州市交通职业高级中学 310011)

1 问题呈现

(1)求椭圆C的方程；

2 解法探究

(1)椭圆C的方程为x2+4y2=1．

评析对于直线与椭圆相交问题，自然会想到设直线方程和交点，然后联立方程运用韦达定理．不等关系来源于判别式大于零，由此得到关于m和λ的不等式，再通过含有4个未知数的三个方程来找到m和λ的等量关系，从而建立关于λ的不等式．

评析在这一解法中并未引入新的变量，而是直接将题干中涉及的变量所满足的关系全都呈现出来，得到关于五个未知数的四个方程，最终通过消元转化可以得到x2和λ的等式关系，从而由x2的范围来确定λ的范围．此方法计算量小，方程思想起到了指导性作用．

评析点差法是先作差再代入，而解法2是先代入再作差，其用意是不同的．点差法的关键在于根据(*)式配比好系数，然后作差，从而消去变量得到x2和λ的等式关系，起到“设而不求”的效果，减小了计算量．

评析由题意不难发现点P是线段AB的三等分点．处理此类问题，直线的参数方程是常用方法，其基础是要理解直线参数方程的意义，尤其是理解方程中参数的含义，要做到数形结合，才能游刃有余．

评析椭圆参数方程将点B坐标表示为关于θ的形式，再利用向量关系得到坐标关系，由此得到点A坐标表示，将其代入椭圆方程得到θ与λ的关系，最后回归到x2与λ的等式关系，由此建立不等式．运用椭圆参数方程实则是运用了点在椭圆上及三角恒等关系，往往能够起到简化计算的效果．

评析圆有许多好的性质，将椭圆仿射成圆，线段间的比例关系保持不变，可以找到仿射交换后两个交点间的坐标关系；再利用垂径定理作为思路方向，建立变量之间的联系．仿射交换的运用也体现了数形结合的思想．

解题反思圆锥曲线中的取值范围问题已然成为了高考和竞赛的热点，此类题目往往蕴藏了多个切入口，要弄清楚解法的本质是什么才能有所感悟.设线其实是设了角的正切值，设参数方程其实是设了角的正弦值和余弦值，其本质都是设角，所以虽然方法多样但是往往又殊途同归．此类问题的思考方向大致可分为两个:函数和不等式.函数中又可分为两类，一类是直接可以快速判断函数的单调性，另一类是需要对函数求导后再来判断单调性．不管是哪种方向，最终还是要回到“已知范围求范围”，在此过程中，考查了学生的数学基本功和对数学思想方法的运用能力．

3 问题推广

4 感悟反思

好的问题往往解法不唯一.我们可以从不同角度去看待分析，挖掘其本质，通过引导学生一题多解，归纳总结，加深对知识的理解，感受各种解题方法背后所蕴含的数学思想．抓住其本质特点对一道题完成一题多解便是完成对一类题的探究，起到举一反三、触类旁通的效果．但是，最终仍需要从一题多解回归到多题一解，以便在遇到问题时快速预判，选择合适的方法去解决，真正提高学生的综合数学能力及数学核心素养．