思维异构在解题教学中的有效利用——“公式法解一元二次方程”的实录与感悟

顾彩梅 (浙江省杭州外国语学校 310023)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：“数学思考是数学教学中最有价值的行为，这种思考是‘运用数学的思维方式进行的思考’，因此义务教育阶段数学课程进行的全过程，都应该注意培养学生的数学思维.”如何拥有数学思维？解题是首要途径.解题思维异构是指在解题教学中，通过适切的载体、灵动的处理让学生充分联想与问题有密切关联的事实和条件，多角度、多层次地寻求解决问题的方法，充分思考问题的关联发展方向，产生新的想法[1].解题思维异构摈弃了依赖记忆与模仿的思维固有化模式，借助教师在课堂上对不同数学思维的捕捉和开发，让学生在问题的解决过程中不断思考、不断创新，从而实现从简单学习向深度学习的过渡.本文以一道中考题的解法教学为例，就解题思维异构在课堂教学中的有效利用，谈一些粗浅的看法.

1 题目呈现

如图1，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点.若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为( )

图1

本题是2017年宁波市中考数学试题第11题，此题出现在笔者执教九年级学生的中考复习用书上.本题数学思维的起点低、入口宽，从不同角度切入的解题思路都是培养学生数学思维的有效路径，教师帮助学生分析、解决问题的过程就是教思维的过程，也是深度教学发生的过程.

2 多角度思维异构

在学生充分理解题目的基础上，教师提问.

师：你能根据已知条件初步得到哪些结论？

生1：利用矩形和等腰直角三角形的性质，除了MN，其他线段都会算.

师：你觉得题目中哪个条件比较重要？或者你见过有类似条件的相关题目吗？

生1：由线段中点，我想到三角形的中位线(思维捕捉1)，但观察图形发现找不到MN为中位线的三角形，我想试试把线段MN转移.

师：这是个不错的想法.大家可以一起想想，如何构造三角形的中位线？

图2

师：这位同学的类比迁移用得非常好，把你的方法动手做做看.

生3：中点让我联想到直角三角形斜边上的中线(思维捕捉2)，我想去找与MN相关的直角三角形.

师：这也是个不错的想法，图中哪里有直角呢？找找看.

生4：MF⊥GD，所以△FMB是直角三角形.

生5：△EMC好像也是直角三角形，而且EM=AM=MC.

师：那如何说明∠EMC是直角呢，看看EM=AM=MC这个条件能不能帮到你.

生6：中点让我联想到了之前用过很多次的倍长中线法(思维捕捉3)，我想试试倍长任一经过中点M的线段看看.

师：你觉得倍长的线段与MN是不是要有一定关联？如果是，找哪一条比较合适？

生7：我想直接建立直角坐标系(思维捕捉4)来计算线段长度.

师：哇，这个想法很不一般啊，几何问题代数化，这是高中解析几何的思想，算算看.

师：试着验证一下你的猜想.

教师将学生以不同的思维路径分组，经过交流、讨论，共同建构以下解题思路：构造三角形的中位线、构造直角三角形、倍长经过中点的线段、解直角三角形(一般三角形)、建立直角坐标系解决问题.

3 思维异构下的解法展示

思路1 构造中位线

图3 图4

思路2 构造直角三角形

图5 图6

思路3 倍长经过中点的线段

思路4 解直角三角形

图7 图8

思路5 建立直角坐标系.

图9 图10

4 小结交流

波利亚倡导解题之后要回顾检验，用不同方法推导结果，力求多法归一.那么以上不同思路下的解题方法，对以后解决新问题有什么帮助呢？教师引导学生总结有关“线段中点问题”的常用解法：倍长经过中点的线段、构造直角三角形斜边上的中线、构造三角形的中位线.

小结之后，学生提出这样一个问题：如果把条件改为“M，N分别是GD，EC的三等分点”，问题怎么解决？教师鼓励学生去思考，以上哪些方法仍然适用、又有哪些新的方法，再进一步鼓励他们去构造变式，提出问题并尝试解决.

5 教后反思

(1)解题思维异构要在过程中充分发生

为了提高解题能力，学生往往会自主采取多看多做的办法，教师也会选择多讲和让学生多练的方式.这种以求通过量的突破来达到质的飞跃的思想长期禁锢着教室里的学生和老师.究其背后的原因，笔者发现，学生在遇到困难时一般都是被动地接受解题思路，以看懂标准答案和听懂教师讲解为目标，很少去经历“知其所以然，何由以知其所以然”的过程.数学思维的培养不是一蹴而就的，它具有整体性、阶段性、连续性等特征，要在数学学习的过程中给学生足够的时间和空间思考，这种过程性的进展不能快进，更不能跳过.

(2)解题思维异构要重视学生在学习中的主体地位

教育的本质是使学生得到全面的发展，掌握知识技能、感悟数学思想、养成良好习惯、健全完善人格，要使学生获得这样全面的发展，必须落实学生的主体地位.学生成为学习主体的重要标志是他们积极参与各种教学活动，这种“活动”不仅包括外显行为、可观察的活动(如操作、实验、讨论、交流等)，而且也包括学生积极的思维活动.教师要少“讲授”、多“倾听”，让学生中不同个体所产生的差异性思维充分暴露在探究问题的过程中，保护他们的创造性想法，肯定他们在思维上的主动性和积极性.

(3)解题思维异构要借助教师的有效提问

教师在课堂教学中的主导作用突出地表现为对学生学习活动的“引导”，这种引导往往借助于课堂的提问，学生在问题的引导下可以开展积极的思维活动.教师设计问题，要从学生的实际(已有的知识结构、生活经验等)出发，由浅入深、阶梯式地逐步带着学生走向思维的深处.提出的问题要让学生有东西可想、想得出，逐步走向思维的不同领域.解题思维的异构体现在问题思考的宽度、广度和深度上，在解决问题的过程中只有那些触及思维底部且基于理解之上更多关注本质、关联、创造的高阶思维才能有效发展学生的数学素养.

(4)解题思维异构有助于深度教学真正发生

解题思维异构是思维的一种方式，这种思维方式的建构有助于深度教学的实施.思维异构为主的课堂教学获得的不仅有题目解答，更有思维过程.学生在原有知识脉络的基础上，建构知识间的有机联系，多层次、全方位地理解数学问题，厘清思维过程中的结点，联接思维中的断点，从而获得解决问题的多种有效思维，这是深度教学真正发生的体现.深度是触及知识底部和本质的程度，解题思维异构推动着教师的深度教学，有助于学生深度学习和促进核心素养的真正落实.