数学核心素养的“核心”与培养路径之探*

曲 政 (广东省广州市华南师范大学附属中学 510006)

王海青 (广东省惠州市惠州学院数学与统计学院 516007)

1 问题的提出

2016年9月13日，中国学生发展核心素养研究成果发布会在北京师范大学举行．《中国学生发展核心素养》总体框架[1](如图1)以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面．综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为国家认同等十八个基本要点．

图1

有关中国学生发展核心素养的讨论已成为当前教育领域的热点话题．[2-3]学生发展核心素养需要落实到学科教育教学中才能得以养成，而各个学科核心素养的界定及其内涵表述还多有争论，专家学者们各有见地[4-7]．以基础教育数学学科为例，《义务教育数学课程标准(2011年版)》[8]将数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识作为义务教育阶段数学课程的10个核心素养．《普通高中数学课程标准(2017年版)》[9]确定了高中阶段数学课程的6个核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析．当前国际数学学习测评项目也都聚焦于反映社会所需要的数学素养问题．[10]但关于数学核心素养的概念界定、内涵与构成、培养途径以及评价体系等的讨论仍方兴未艾、争鸣不断．[6-7,11-14]

2 数学核心素养的“核心”

数学是现代人的基本素质，它培养人的优秀品质，教人思维、提升审美能力并促进人的终身发展．[15]数学核心素养的内涵非常丰富，以至引起了广泛的关注和讨论，各家意见不一．尽管如此，有关数学核心素养的观点在以下几个方面还是基本一致的．

2.1 数学核心素养体现在思考问题的方式上

国际学生评价项目(PISA)将数学素养界定为“一种个人能力，包括能够识别并理解数学在世界中起的作用，作出有理有据的数学判断，作为一个积极、热心、反思的公民会使用数学并参与其中，以满足个人生活的需要．”[7]牛津学习中心认为数学素养是一种理解数学“语言”的能力，包括解决真实世界问题、推理和分析信息的能力．[16]通俗地讲，数学核心素养的本质正如国内学者所言：“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界．”[17]

因此，数学素养是人经过数学教育后所形成的一种数学思维方式或习惯，体现在对问题的不同思考方式和解决方法上．数学“能够促进学生的学习态度、思维习惯、思维模式、思维策略等的发展，让每个学生面对全新的情境都能作出适当的回应”．[18]人们期望通过数学的学习训练具备数学的理性精神与思维去认识世界和改造世界，能用数学的思想方法解决现实世界中的问题．

2.2 数学核心素养包含数学能力与思维、情感态度和价值观

张奠宙先生将数学的核心素养分为“真、善、美”三个维度，即：理解理性数学文明的文化价值，体会数学真理的严谨性与精确性；具备用数学思想方法分析和解决问题的基本能力；能够欣赏数学智慧之美，喜欢数学和热爱数学．[19]这与“掌握数学知识，形成基本数学技能，发展数学能力，训练数学思维，掌握数学工具，领悟数学精神，传承数学文化”[20]是数学教育价值所在的观点一致．有研究强调“数学核心素养是指数学学科的思维品质和关键能力”[21]．也有观点认为“数学核心素养是数学情感态度价值观、数学知识、数学能力的综合体现”．[13]蔡金法与徐斌艳聚焦人才培养的目标提出了数学核心素养应包括“数学交流、数学建模、数学智能计算思维、数学情感”[7]．国外一些研究从能力角度提出数学核心素养包括数学思维能力、表征能力、符号和形式化能力、交流能力、建模能力、数学题处理能力等[22]．

可见，数学的核心素养除了数学能力与思维，还包含对数学的情感态度与价值观．知识是思维的载体，数学家的研究精神、研究方法及数学的思想承载在具体的数学知识之上．因此，数学思想方法的获得必须以基础知识与基本技能为前提，并在这个过程中体验数学思想方法的形成过程，认识数学学科在解决现实问题、刻画现实世界中不可替代的作用，逐步形成对数学的积极的情感态度和价值观念．

2.3 数学核心素养的关键是数学思维

从前面对数学核心素养的内涵剖析来看，数学思维是数学核心素养的关键．有研究依据知识的形态将数学核心素养分为“知识的理解、知识的迁移和知识创新”[14]三种水平，这突出体现了数学思维是重要的素养成分及其在数学学习中的重要性．强调数学思维的核心作用也已成为国际数学学习测评的趋势之一．学习测评结构以“数学知识(技能)—数学应用—数学推理”[10]为主，引导学生运用数学知识解决生活中的实际问题，重点考查学生的数学探索和思考能力，强调数学应用意识的形成．

因此，数学教学的本质是通过具体知识的学习揭示数学的实质——数学的研究精神、思想方法与数学结构，是在解决问题的过程中“帮助学生学会数学地思维”[23]，即数学教学应该讲清楚知识的来龙去脉、丰富的内涵和广泛的应用性，及其背后的精神实质和思想方法．数学教师需关注教学是否促进了学生积极地去思考并且思维变得愈加清晰和深广，而不应拘泥于教学的模式．也就是说，高水平的数学教学是教师通过具体知识的教学揭示其中的隐性知识——数学的本质、过程、思想和结构．[24]

3 数学核心素养的生长点与培养途径

3.1 数学核心素养的教学生长点

学生的数学核心素养需在学习数学知识和解决问题的过程中逐步形成．而数学本身就是在解决各种各样的现实问题和自身逻辑问题的过程中形成和发展的，其重要的概念和原理都有一定的问题背景．数学的核心问题与概念是数学核心素养的生长点，是数学主要的知识载体．[12]数学知识的深入学习需要对数学核心概念作全面理解，问题解决能力的提升需要有核心问题的引领．

数学来源于现实又运用于现实．要使学生能用数学的眼光及思维方法审视和解决生活中的问题，就需要教师将数学的概念或原理寓于现实情境中，并引领学生在情境中抽象出数学概念、数学问题或模型，从现实世界过渡到数学世界．进一步地，多角度、多层次地解释概念，或利用不同的方法解决问题获得原理，并在实际运用中巩固和深化概念与原理．也就是说，培养数学核心素养，教师需要以数学核心问题和核心概念为媒介，帮助学生经历从现实世界到数学世界再到现实世界的“数学化”过程．[11]学生通过数学化的学习活动习得数学思维方式、关键能力和数学品格．

3.2 数学核心素养的培养途径

从前面的分析可知，数学核心素养包含数学能力与思维、情感态度和价值观等，主要体现在思考问题的方式上，其关键是数学思维．为了发展学生的数学核心素养，需将数学核心问题与数学核心概念寓于适当的现实情境中，借助信息技术引导学生经历“数学探究”活动和“数学建模”过程．正因为如此，《普通高中数学课程标准(2017年版)》提倡高中数学教学要通过“数学探究”实施“数学建模”活动并将“数学文化”融入其中，以培养学生的数学思维品质、应用意识与数学精神．

(1)重视数学探究活动与信息技术的有机结合

数学探究是一种重要的教学与学习方式，有助于学生了解数学概念和结论的产生过程，有助于培养学生的质疑、反驳与反思能力，形成数学思想与方法，真正提高数学核心素养．探究的过程也是数学的再发现过程，是学生自己在教师引导下对数学知识的“再创造”．为了给学生提供合适的探究环境，教师需依据对教学内容的深入理解，结合学生的实际对教材进行“再创造”，以便于学生经历和体验“做数学”“发现数学”的过程．

信息技术是促进数学探究教学的有效手段，它与数学课堂的有机整合有助于数学探究活动的开展．借助信息技术，能有效地处理传统课堂教学难以呈现出来的数学内容，使许多探究成为可能，同时也可增加课堂的趣味性与知识的直观性，提升学生的直观想象与数学抽象能力．

(2)重视让学生经历数学建模的过程

传统的数学知识大都从生活世界、自然科学或数学内部产生，其产生的背景问题具有生活价值、科学价值或数学价值，应成为教学的起点．且数学应用是当今数学发展的主要特征，它与其他学科的联系越来越紧密．所以“发展学生的数学应用意识”应当贯穿教学的始终，而“数学建模”是落实这一基本理念的有效途径．

数学建模的首要步骤是从现实情境中提出有价值的数学问题或模型，再用数学知识与方法去解决问题，并用所得的结论去解释现实世界．数学建模能力被认为是“能够在给出的现实世界中识别问题、变量或者提出假设，然后将它们翻译成数学问题加以解决，紧接着联系现实问题去解释和检验数学问题解答的有效性”[25]．图2的建模流程循环模型[26]体现了数学的符号世界与周围的现实世界之间的密切关系及其相互之间的转化步骤．

图2

在中学实施“数学建模”活动或在具体的教学中渗透建模的思想，其步骤与复杂性要比图2简单许多，基本要经历“将情境问题表述为数学问题，用数学的思想方法得出数学结果，再用数学的结果解释情境”的完整过程，步骤如图3．数学建模的过程也是学生经历由具体情境到“数学化”的抽象再到具体的现实世界的教学组织过程．从现实世界→数学世界→现实世界，教学实现了“数学化”与“生活化”的有机统一．学生在解决实际问题的过程中习得相应的数学思想与方法，发展数学的应用意识，并且体验数学与日常生活及其他学科之间的紧密联系，感受数学的广泛应用性．

图3

(3)重视数学文化对学生的浸润

数学是人类文化的重要组成部分．学生要通过涉猎数学文化内容了解数学与社会发展之间的相互联系和对社会发展的作用，体会数学的科学价值、应用价值与人文价值．普通高中数学课程标准要求教师尽可能结合高中数学课程的内容，向学生介绍一些在数学与人类发展史上起到重要作用的人物与史实，让学生认识数学的规律与作用，体会数学的精神与思想．

但数学史料或材料不等于数学文化．何谓“数学文化”？不同的哲学家、数学家或数学教育学家的看法不尽相同，目前还没有确定的定义．通俗地讲，数学的历史、具体内容或结论是科学知识或哲学知识，而要回答“为什么研究、有什么用、怎样研究”这几个问题就隐含了数学的文化内涵．这些问题的答案蕴含了数学的价值、思想与方法，也是教师进行教材解读与教学设计需回答的问题．因此，教师要在教学中渗透数学文化及相应的数学思想，需从数学史中挖掘知识的背景和数学本质，而不仅仅是介绍数学史料．

4 对数学教师的要求

数学思维的培养是一个长期的过程，教师需要通过“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)与“四能”(从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力)的训练来促进学生数学核心素养的养成．“四基”与“四能”的获得是一个渐进的过程，教学应突出强调以核心概念和核心问题为载体，通过建模让学生在经历“数学化”的过程中习得数学的思想方法、体验数学的价值和魅力．要做到这些，对数学教师也提出了很高的要求．

4.1 教师需具备整体的教学观

为了实现数学核心素养的教育目标，教师要转变教学观念，那种以“课时”为中心、按照每节课或每个知识点去设计教学的方式不能再延续下去．备课时需从数学学科的整体架构与数学教学的整体目标入手，界定哪些是核心概念与核心问题，并揭示蕴含其中的思想方法、价值及数学家精神等文化内涵，由此进行合适的教学设计．应把具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计，并创设适当的问题情境，这样才能把握数学知识的本质、设计并实施合理的教学活动．[17]

4.2 要重视知识点在数学内部与其他学科之间的关系

培养学生的数学核心素养就是要教学生学会“数学地”思考问题，用数学的眼光看世界，提升数学建模能力与应用意识．教学在强调数学知识的完整性、逻辑性以及具体课时重点的同时，也应注重知识点之间、信息源之间的关联性，体现数学学科的广阔性．这也正是加拿大学者西蒙斯提出的“关联主义”[27]，注重知识与学科间的关联，才能真正把握数学学科的系统．这就要求教师不仅仅只是会解题或知道具体的一个个知识点，而是要理解具体的知识点在数学的整体结构中的地位与作用，要“了解数学整体架构，引导学生更深刻地理解数学”[28]．

4.3 要强调以问题驱动数学教学

哈尔莫斯直言：问题是数学的心脏，学习数学唯一的方法就是做数学．“做数学”就是一个解决问题的过程，这里的问题显然不仅仅是数学问题，还包含各种各样的现实问题．新知识的获得要尽可能地联系现实，让学生体验到数学来源于实际又应用于实际，并在解决问题的过程中习得数学的思想与方法，促成数学思维和应用意识的提升．因此，数学教学应该创设恰当的问题情境，为学生提供探究的环境，然后教师引导学生发现和提出问题，并围绕“问题”探寻解决的思路与方法，进而获得数学的概念与原理．

4.4 需对数学发展的历史有基本的了解

歌德说：“一门科学的历史就是这门科学本身．”数学史记载着每个时期产生的问题序列与解决过程，呈现了数学知识与思想的发生、发展过程．因此，数学教师需对数学的历史发展脉络有整体的理解和认识，通过数学史了解数学各分支的产生背景和整体结构、数学内部各知识之间的联系、数学与其他学科的联系．依据历史，结合学生的实际才能对数学教材进行恰当的“再创造”，以便创设真实有效的问题情境展开教学．