让学生经历真实的数学研究过程——“基本不等式”的教学实录与反思

龚亮亮 卓 斌 (南京师范大学附属中学秦淮科技高中 210007)

探索是任何一门科学的生命线．“一个好的教师让人发现真理，而一个坏的教师奉送真理”．在数学定理、数学公式的教学中，我们要让学生经历“问题—实验—猜想—证明”这样真实的研究过程，从而培养学生综合应用数学知识和数学思想方法进行数学探究的能力．本文以“基本不等式”一课为例，谈一谈让学生经历数学研究的过程与思考．

1 课堂教学实录

1.1 创设现实情境，提出数学问题

师：同学们，屏幕上展示的是什么？

生众：天平．

师：我们都知道天平是用来称量物体质量的，老师现在遇到一个棘手的问题．

(屏幕展示)现有一架天平造得不准确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)．将物体放到左右两个盘子中各称一次，放在左盘称得质量为a，放在右盘称得质量为b．那么该如何合理地表示物体的质量呢？

师：你是怎么思考的？

生1：物体放在左、右两盘称了两次，两臂长略有不等，所以两次称得的质量应该一次比物体质量略大，一次比物体质量略小．

师：因此你取了两次的平均值．同学们，你们认可吗？还可以从其他角度合理地表示物体的质量吗？

师：请问l1,l2是怎么来的？

生2：设天平的左臂长为l1，右臂长为l2．

师：认真审题，你列的方程组对吗？

师：如何求解呢？

师：将两式相除的目的是什么？

生3：因为l1,l2是求解中引进的辅助量，必须消去．

点评教师通过问题：天平称量物体两次质量不等，怎样合理表示物体的质量？引发学生积极思考，一是依靠生活常识，用“算术平均数”表示，二是借助学习的物理知识进行严格运算，从而得到两个不同的结果．进而追问：“依靠生活常识给出的估计值和准确值相比，是大了还是小了呢？”创设的情境真实而有意义，问题的提出合理而自然．难能可贵的是对生2的两处错误，教师处置较为高明：一是引导学生认真审题，不放过细节；二是引导学生明白解题过程中引进的辅助量必须消去，做到设而不求．

1.2 设计数学实验，作出数学猜想

师：可能相等吗？

生4：当a=b时，相等．

表1

师：因此，你的猜想是什么呢？

师：数学讲究严谨而理性，仅靠有限的数据检验得到的结论不能作为数学命题．接下来应该怎么办呢？

1.3 尝试数学证明，得出数学命题

生众：证明．

师：请同学们尝试一下给出证明．

(停顿20秒，巡视一下有哪些不同的证明思路)．

实物投影展示第一位学生的证法:

师：请说说数学依据，怎么想到证明思路的？

生5：先平方，然后作差．

师：什么时候取等号呢？

生6：当a=b时取等号．

师：解释一下，什么叫“当a=b时取等号？”

生6：是的．

师：因此，我们应该说“当且仅当a=b时，取等号”．

师：两边不平方，直接作差，行吗？

师：这种证明方法称为作差比较法．

师：请这位同学说说你是怎么想的？

生8：必须增加条件a>0,b>0．

师：非常好！这种证明方法叫做综合法．请同学们思考，综合法与分析法有什么区别与联系？

生9：综合法就是将分析法的顺序倒过来．分析法是从要证的式子入手，一步一步寻找使得它成立的充分条件．综合法就是把分析法的最后一步作为条件，一步一步推到我们要证的结论．

师：好的，分析法就是执果索因，综合法是由因导果．

点评基于学生真实的证明思路，教师悉心呵护学生“原生态”的思维过程，并引导学生修正完善，总结提炼，最终自然地给出了四种不同的证明方法——平方作差法、作差比较法、分析法和综合法．师生之间火热的对话既是数学思维的碰撞，也是数学思想的流淌，犹如一幅美丽的画卷，让人赏心悦目．

1.4 精致数学命题，析出研究经验

师：我们从数的角度进行了证明，能否从形的角度来认识这个不等式呢？(停顿30秒)比如我们现在有两条线段，长度分别为a和b，你能够构造出不等式两侧的量吗？

图1

师：理由呢？

师：那么这个不等式的几何意义用文字语言如何叙述呢？

生13：半弦不大于半径．

生14：两个正数的几何平均数不大于它的算术平均数．

师：a，b一定要是正数吗？

生15：a，b都为零，或者a，b中有一个为零，不等式也成立．

师：这就是我们今天要学习的基本不等式(板书课题)．

同学们，这个不等式之所以称为基本不等式，是因为它有着明确的数学意义，而且应用非常广泛．不等式中的a，b只能表示数字吗？表示代数式行不行？

生16：可以是代数式，但是必须大于或等于零．

师：你能不能举个例子？

师：很好！基本不等式还有很多变式，我们下节课会继续研究．总结一下本节课，你有什么收获？

生17：我们学习了基本不等式及基本不等式的四种证明方法，并从数和形两个角度认识了基本不等式．

师：非常好！调整一下顺序，就是“一二四四，”即：一个不等式、两个认识角度、四种证明方法和数学研究的四个步骤．

师：布置两道课后思考题：1)基本不等式能否推广到n(n>1,n∈N*)个非负数的情形？2)赵爽弦图和2002年国际数学家大会会标能否用今天学习的基本不等式给出解释？

2 教学后的反思

如何让学生经历一个真实的数学研究过程一直是我们探索的课题，“基本不等式”这节课的教学是一个很好的尝试．

2.1 设计恰当的问题串，让研究有载体

2.2 基于学情的修正完善，让研究有根基

2.3 逐步实现命题精致化，让研究有生长

2.4 运用现代教育技术，让研究有抓手