一类与双变量有关的恒成立（取值范围）问题的处理策略

刘洋

摘 要： 在高三备考过程中，含有双变量的恒成立（取值范围）问题是众多同学的棘手问题，此类题型变化较大，解法不唯一，学生在面对含有两个以上变量的问题时，处理策略不明确.本篇论文就是研究如何处理与双变量有关的恒成立（取值范围）问题，解决双变量的恒成立问题常常用以下几种方法： 代入减元、等量减元、换元减元、构造齐次式，选取主元等方法.

关键词：双变量; 减元; 恒成立; 取值范围

高中数学中与双变量有关的恒成立（取值范围）问题是高考的一重要知识点，在选择题、填空题、解答题题型中均有出现，是历年高考的一个热点.新高考越来越注重对学生的数学品格和数学关键能力等综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，渗透着换元、化归、数形结合、变量转化方法、函数与方程等思想方法[1].在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，备受高考命题者的青睐，成为高考服务选才，注重科学引导，也体现了高考在人才选拔培养中的核心地位和关键作用[2].同时借助与双变量有关的恒成立（取值范围）问题这一类知识的考查，也客观明确了学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力.

本文重点阐述以下几种常用的解决与双变量有关的恒成立（取值范围）问题方法： 代入减元、等量减元、换元减元、构造齐次式，选取主元等方法加以解决.

一、与双变量有关的取值范围问题----代入减元

例1 （2021年乌鲁木齐地区高三年级第一次质量监测理科16题）已知函数在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则的取值范围为_______.

解析  法一：（常规减元）因为在R上是增函数，

所以对恒成立，

由题意知必有且，又因为函数存在垂直于y轴的切线，

则必有且，即，变形有，=，分类讨论：

（1）当时，;

（2）当时，，因为且，所以，令，则，.

综上（1）（2）知.

法二：（非常规减元）若符合本题题意，则函数可化为，即展开为，

则.

所以，分类讨论：

（1）当时，;

（2）当时，，令，

则，即有.

综上（1）（2）可知.

点评：本题考查了导数和函数单调性，导数的几何意义，函数的基本性质----值域，利用不同的减元方式，最终化为仅含一个变量的不等式或函数的取值范围问题，也考查学生灵活运用已有知识，转化与化归能力.

二、与双变量有关的恒成立问题解析----等量减元

例2 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（  ）

解析 由已知得 （*）

则 ，

当且仅当时，”=”成立，把代入（*）式，得，

所以 ，故选B.

点评 此题是山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元变量之间的关系，进而达到减元的目的.其实，由变到就已经应用到了代入消元，再由变到仍然用到了整体消元的思想（把当做整体），从而寻求到了取最大值时变量之间的关系.最后由变到应用到了之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的.

三、与双变量有关的恒成立问题----换元减元

例3 已知，不等式恒成立，求實数m的取值范围.

解析 原问题等价于： 当，不等式恒成立.

令，，即求函数的最小值.令，因为，所以，所以.又因为，

所以，当时，，故

点评：此题中的，若不加处理，难以将变量统一起来.但是，观察到与的关系，通过换元很巧妙的将变量统一起来，达到减元的目的.

四、与双变量有关的恒成立问题----构造齐次式、选取主元

理论阐述

函数导数是高考中必考的一个考点，其思维量大，难度高.有一类关于的问题（称为双变量问题）广泛存在于高三试卷中.如果能巧妙处理双变量问题，对于提高学生的解题信心应该有很大帮助.

例4（新疆维吾尔自治区2021年普通高考第二次适应性检测年文科12题）若，则的最小值是（     ）

A.                      B.                     C.                  D.2

解析  由条件得，，，变在要求的的最小值中形式的四个变量，本质上只有两个变量可在同一坐标系中利用函数法选取和图像如图1所示.

求的最小值，仅需要平移直线使其与相切即可.对函数求导得，令，化简得，解得（舍去），，所以切点为点切线为：，则两条平行线（如图2所示）间的距离的平方就是的最小值，

即.

规律总结 多变量问题中，由于两个变量的地位相同，将待求解条件进行变形，可以选取不同函数，构造关于它的一元函数来处理.应用导数研究其单调性，并注意将新颖的问题转化为学过的数学知识，利用数形结合来寻找灵感，达到求解的目的.

结束语

关于“与双变量有关的恒成立”问题的策略还有很多，对于某些“恒成立”题目，不一定用一种方法，还可用多种方法去处理.这就要求我们应该鼓励学生从多角度，全方位做深入探索，训练学生的发散性思维，培养和提高学生思维能力，养成良好的数学思维，有良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力，使所见到的“恒成立”问题更有效地解决.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 教育部考试中心，中国高考评价体系[S].北京：人民教育出版社，2019.

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