直观想象素养下数学反思性学习的实例探究

王胜锋

摘 要：本文在直观想象素养下通过对数学反思性学习的过程，应用特点，本质的分析，以高中数学立体几何这部分内容为例，结合教材和笔者在教学中碰到的问题，分析和例证了如何进行数学反思性学习以及数学反思性学习的意义，旨在帮助学生学会独立思考，提高学习数学的效果。

关键词：直观想象;反思性学习;实例

直观想象是高中生很重要的一种核心素养，学生只有对数学知识有整体上的了解，才能有目的地展开想象，进而连续向自己提出问题，直至找到问题的答案。在数学的教与学过程中，教师经常鼓励学生大胆猜想，验证，从而找到解决问题的方法，这其中的过程本身就是反思性学习的具体表现。在碰到一些不能直接解决或经常犯错误的问题时，我们总是不断反问自己：是不是这样？哪里出错了？假如这样会怎么样？本文以高中数学立体几何这部分内容为例，结合教材和作者在教学中碰到的问题，谈谈学生如何进行反思性学习以及反思性学习的意义，旨在帮助学生学会独立思考，提高学习数学的反思效果。

一、反思性学习的主要过程

反思性学习是对思维结果进行再认识的检验过程。在整个学习过程中要不断地进行反省，重新概括和抽象。要求学习者在学习过程中对涉及到的事物、材料、信息、思维、结果等进行反向思考。当学习内容呈现后，学习者先对条件，问题进行综合分析，然后探索寻找问题的答案，最后整理学习过程，获得学习经验，方法，心理感悟。在探索阶段主要依靠自我解释，交叉验证（反复验证），结果反馈这三个步骤来完成。

二、反思性学习的应用特点

学生通过反思性学习，可以深刻体会学习过程中是如何探究的，研究的心理变化，知识和技能的总结，从而增强学生的思维能力，提高学生的创造力，促进学生的全面发展。反思性学习重视反思的过程，善于运用每次的结果去引导反思，从而对整个学习过程起到调控的作用，保持反思的效果。

反思性学习的特点可以概括为：

1.基础性

学生在反思性学习的过程中以自己已有的知识和经验方法为基础，对学习内容进行学习。学习的难易程度对于不同的学生是不一样的。每次反思性学习的成果都会成为下一次学习的基础。

2.探究性

反思性学习不是简单的练习，它是对问题的深层次思考。在学习的过程中，问题本身有一定的难度和开放性，从而引发学生一系列的思考，探究。常见的探究过程就是提出问题，探究问题，解决问题。学生通过探究其中的问题和答案，重构自己对学习内容的理解。

3.自主性

反思性学习的主体是学生自己，自主探究，最终获得问题解决的答案。学生以自身学习的合理性为出发点，通过自我认识，自我分析，自我评价获得自我体验。对于学生来说首先是想学，然后是坚持学，整个过程具有很强的自主性。

4.反馈性

学生在每次探究之后都会获得对应的结论，有的结论就是问题的答案，问题得以解决。有的结论说明或證明之前的想法、猜想是错误的，得重新回到问题的起点，构思新的解决办法。学生学习的过程中，通过层层反馈，不断努力，最终找到问题的答案。

5.发展性

反思性学习不仅加深了学生对本次学习问题的理解，而且为下一次的学习提供新的学习经验。学生在对学习内容的不断反思中形成了对知识的再学习以及对自身的了解，提升了个人的学习能力和综合素质。

《高中数学新课标准》中提到高中数学课程应倡导自主探索，动手实践，合作交流，阅读自学等学习数学的方式。从以上对反思性学习的特点来看与课标所倡导的学习方式是一致的。

三、数学反思性学习的本质

如果说“数学反思性教学的本质是教师从学生已有数学知识进行反思，产生新的数学问题”，那么数学反思性学习的本质就是学生通过对新问题的分析、探究，构建数学新的知识和方法。面对新的数学问题，学生首先要返回到学过的知识和方法上分析问题的条件和需要的结论，接着尝试解决问题的思路与方法，然后总结完善自我的知识体系，改进自我的思维方式，最终形成新的学习体会。

数学反思性学习不仅仅是对知识和技能的一般回顾和重复，而是对数学学习活动中所涉及的知识和技能的深究，通过自己的努力形成一种科学的研究问题的方法。

数学反思性学习也不仅仅是解决数学问题，更重要的是以数学学习为载体，以“学会学习”为目的。学习过程中既关注学习的直接结果——眼前的数学成绩，也关注间接结果——数学思维能力的提高，未来学习能力的发展，是帮助学生终身学习的一种方法。

四、数学反思性学习的实例探究

（一）数学反思性的学习贯穿整个课程。

1.问题引导学生进行数学反思性学习

在《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》中的本册导引中，编者着重强调“学习始于疑问”，“学而不思则罔”，说明了反思的重要性。学生首先通过适当的观察，思考，探究等活动，打下坚实的数学基础，接着还得通过独立思考，学会思考，不断提高解决数学问题的能力。

在课本中，我们经常可以看到这样的思考：

我们如何描述几何体的形状？

当常见的几何体底面发生变化是，它们在结构上是否能相互转化？

当直线平行于坐标轴时，斜率公式还适用吗，为什么？

这些问题可以很好的帮助学生在学习的过程中进行反思，理清数学概念的内涵和外延，以及公式、结论适用的条件和范围。

2.证明方法指引学生进行数学反思性学习

在高中立体几何的教学过程中，我们普遍感觉学生存在表述不清楚，证明的思路混乱等想象，从而导致他们在学习立体几何这部分时心理压力比较大。在直观想象素养下，结合可能的几何图形，尝试在高中立体几何中运用反思性学习可以培养学生的发散思维，拓宽学生思维的广度。

高中数学必修2（人教版）课本P70页，思考：已知直线a、b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a、b一定平行吗？

这个问题看似很简单，但思考之后学生发现无法把直线a、b归纳到同一个平面内，如何用平面几何的知识来解决，在这种情况下，反向思维起到了不可替代的作用。

证明如下：

如图1-1，假定a与b不平行，则，过点O作，使，由于可确定平面β，记，，因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c

又 所以，这样过点O在同意个平面β内有两条直线垂直于直线c，这与事实不符，原假设不成立。故

数学的学习主要围绕着数学问题展开，而问题的求解包含两个部分：合理分析和严格论证，尤其是问题的分析和发现过程。上述的求解过程通过假设，引发想象，导出矛盾，最终给出判断，是一种化难为易的证明方法。学生将”间接法”拓展开去，用”反证思想”分析和解决问题，使之与正向思维共同作用，以提高学生的数学思辨能力。

（二）数学反思性学习在猜想中获得发展和提升

数学是研究数量关系与空间形式的科学，数学很注重图形的呈现，通过数与形的相互转化，可以很好地化解问题的难度。在这一过程中，学生通过直观想象，分化同构，合理推演，找到问题的突破口，可以说大部分时候想象比运算推理更重要。一方面，数学反思性学习可以提升自己对数学的认识，增强学生的数感，进而提升学生直观想象素养。另一方面，在直观想象下，学生会更积极，大胆去钻研问题，甚至是数学难题。因为在直观想象下，数学问题的分析更具有开放性和多样性，具体性，学生愿意去尝试不同的可能。

问题：已知在三棱柱中，，，面⊥面，求直线与平面所成角的正弦值。

本题如果能找到过直线上一点与平面垂直的垂线，则直线与平面所成的角就能确定。所以关键问题是如何判断出垂线的位置。

结合题目的已知条件，如图2，易知面，

1.自主探究

（1）如图3，在等边中，取的中点E，连，，则

假设平面，则

令，则，又，所以

记，

在中，由余弦定理得 ，

所以，

所以 ，从而原假设不成立，即不垂直于平面

（2）如图4，在等边中，取的中点F，连，

假设平面，则

由分析2知，， 显然不垂直，即原假设不成立，不垂直于平面

2.反馈调整

学生由图形的特征，通过直观想象，进行了适当的假设，求证，对问题的条件由了进一步的解释。虽然经历了两次的失败，但反思一下问题，显然有用的条件还没有找到，重新构思，反思问题的解法在哪里，同时也检查自己的思维过程是否严密以及围绕基本思想方法的行动是否够深入。

如图5，连，过作，垂足为M，

假设平面，则 ，在这里有，考虑到已知条件，取的中点N，连、，显然面，所以，又，且面，所以平面，则，又是平面内的两条相交直线，所以平面，假设成立。从而为直线与平面所成的角，

3.深入发展

由于该三棱柱是斜三棱柱，想很快找到直线与平面所成的角不是很容易，但可以通过步步假设、反思，层层揭开了问题的谜底。在整个过程中，学生围绕着自主探究，反馈调整，对问题有了全面的了解，也找到了解决问题的答案，最终对问题有了本质上的把握。同时，学生在如何对问题展开合理讨论以及论证有了一个完整的体验过程，对以后的学习又积累了难得的经验，这些经验又成为后续学习的基础。

通过上述的实例探究以及数学反思性学习的特点，我们发现数学反思性学习大致可以归纳为

五、重视直观想象下数学反思性学习的实践，让学生获得对数学的重新认識

数学思维不仅仅是在抽象层面展开，更多是要借助直观手段去探寻问题的实质，推理和运算的方向，发现数据分析和处理的结果。数学反思性学习有助于学生在数学问题的对与错的判断变得更加理性。

1.善于发现问题，提高主体意识。

在数学反思性学习过程中，学生面对假设问题的结论不成立，会引发对问题的重新思考和尝试，通过新问题的不断提出，最终发现矛盾，从而意识到原来的假设是有问题的。在这样的过程中，学生不再是无从下手，而是不断地，主动地去寻找问题的答案。不仅用问题驱动了学习，也用问题引导着学生积极的思考，变被动为主动，从而提高了学生的主体意识，主动地去发现学习中遇到的问题，并且自觉地全面地寻找问题的答案。

2.体会问题本质，提升探究能力。

数学反思性学习的过程本身就是一个自我反思，自我探究的过程。它对提高学生的思考能力，辨别对错的能力大有裨益。在探究的过程中，学生无论使用直接法，还是间接法推理论证，本质上是对条件和结论的层层反思，持续论证，重复以往的学习经验，坚持总结新的经验，最终获得问题的答案，形成对问题的再认识。整个过程不仅加深了学生对相关知识的理解， 而且提高学了学生的分析和解决问题的能力。

3.减缓思考压力，提供学习动力。

数学反思性学习过程既有理性的思考，也有“顿悟”的灵感乍现，并且允许学生犯错，从头开始。并且不以是否解决问题为标准，更多强调自主、自由去思考问题。学生在没有任何限制下，自主发挥。另外，学生在数学反思性学习的过程中，面对不确定性，心理会产生对学习的期待和焦虑。实验表明中等程度的焦虑有助于激发学生学习动机。对学习结果的期待会有助于学生坚持学习下去，最终形成一种有效期待，为学生解决问题提供坚持不放弃的动力。

六、总结

数学反思性学习是一个持续的过程，要求学生战胜困难，督促自己找出学习上的不合理性，并且解析学习过程中的不合理性，对学生学习毅力是很大的挑战，这也是很多学生碰到数学课就头疼害怕的原因。教师在帮助学生学习的过程中不仅要有意的设置反思障碍，多问几个为什么，也要鼓励学生敢于思考，找到解决问题的方法。

“问题不可能在制造问题的同一个意识层面解决。”，所以想象力比知识更重要，鼓励学生通过反思性学习，恰当选择方法对数学问题进行分析求证，可以有效的提高学生学习数学的直觉，从而建立学生意识与潜意识之间的连接，达到提高学生数学素养的目的。直观想象下的数学反思性学习，不仅可以提高学生对直观想象的认识，而且可以让学生感受空间关系与数量关系是如何统一。

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