矩量积分的推广及其若干应用

徐彬彬，曹 健

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 311121)

0 引言

本文遵循文[1]中的符号和术语，并假设0

且(a1,a2,…,am;q)n=(a1;q)n(a2;q)n…(am;q)n，其中m是一个正整数，n是一个非负整数或∞.

q-二项式系数和q-二项式定理[1]被定义为

超几何级数rφs[1]被定义为

当分母不为零时,无论是当r≤s时|q|<1且|z|<∞，还是当r=s+1时|q|<1且|z|<1，它都收敛.

Al-Salam等[2]根据Rogers-Szegö多项式定义了以下两个离散分布的矩量dα(a)(x)和 dβ(a)(x)：

其中α(a)(x)是一个阶跃函数，当k∈N时其跳跃发生在qk和aqk处；而当k∈N时，β(a)(x)函数跳跃发生在q-k.这些跳跃如下：

广义离散概率测度α(a,b)和β(a,b)[3]是

广义的Rogers-Szegö多项式可以用以下的矩量积分[3]定义：

并且它们的生成函数[4]可以表示为

Berg等[5]通过生成函数推导出以下矩量积分恒等式：

Cao等[6]推导出了以下矩量积分恒等式：

引理1对于X∈N0且s/r=q-X，如果max{|at|,|bt|,|ar|}<1，有

引理2[7]对于X∈N0且s/r=q-X，如果max{|at|,|bt|,|ar|,|aw|,|bw|}<1，有

延续以上的成果，我们继续探索矩量积分以及它的应用，给出了下面两个主要结果.

注1在定理1和定理2中，令w=0，式(5)和(6)分别变为式(3)和(4).

下文将首先介绍一些相关的引理，给出定理1和定理2的证明过程.然后利用这两个定理推出两个广义的Rogers-Szegö多项式、Hahn多项式和Al-Salam-Carlitz多项式的生成函数并给出推理过程.

1 一些引理以及证明过程

两个q-指数算子T(bDa)和E(bθa)[8]为

其中两个q-差分算子Da和θa分别为

引理3[4]假设f(a,b)是一个含有两个参数的函数且(a,b)=(0,0)∈C2.

i)如果函数f(a,b)满足差分方程

bf(aq,b)-af(a,bq)=(b-a)f(a,b),(7)

则可以得到

f(a,b)=T(bDa){f(a,0)}.

ii)如果函数f(a,b)满足差分方程

af(aq,b)-bf(a,bq)=(a-b)f(aq,bq),(8)

则可以得到

f(a,b)=E(bθa){f(a,0)}.

定理1的证明式(5)右边部分可以化为

其中

可以证明式(10)满足式(7)，因此式(9)可化为

F(t,w)=T(wDt){F(t,0)}=

式(5)证毕.

定理2的证明式(6)右边部分可化为

其中

可以验证式(12)满足式(8)，因此式(11)可化为

F(u,w)=E(wθt){F(u,0)}=

式(6)证毕.

2 广义Rogers-Szegö多项式的两个生成函数

Rogers-Szegö多项式的生成函数在q-级数中非常重要，可以采用多种巧妙的方法[9-17]推导出来.Cao等[6]用矩量积分推导出以下两个混合式的广义Rogers-Szegö多项式的生成函数：

下文利用矩量积分推导出以下两个广义Rogers-Szegö多项式的生成函数.

注2特别地，在定理3中 令l=0，式(14)可化为式(13).

证明利用式(2)中Rogers-Szegö多项式的表示方法，式(14)的左边可改写为

利用式(5)，式(16)等于式(14)的右边部分.同样地，式(15)的左边部分可改写为

式(17)等于式(15)的右边部分.证毕.

3 Hahn多项式的生成函数

在这一部分，为得到结论，需要以下几个注解和定理.

根据文[2,11,15,18]，Hahn多项式可被定义为

与它们相关的生成函数有

注3特别地，令t=0，式(20)和(21)可化为式(1).

现在，给出以下二元生成函数.

注4特别地，在定理5和定理6中，令m=0,x=1,a=0,s=0，式(22)和(23)可化为式(19).

证明利用式(18)中Hahn多项式的表示方法，式(22)的左边部分可改写为

利用式(5)，令b=1，式(25)等于式(22)的右边部分.同样地，式(23)和(24)的左边也可以分别改写为

利用式(5)和(6)，令b=1，分别可得到式(23)和(24)的右边部分.证毕.

4 Al-Salam-Carlitz多项式的生成函数

Al-Salam-Carlitz多项式[2]表示为

Al-Salam-Carlitz多项式是很重要的q-正交多项式，在许多领域有不同的应用，例如q- 谐波振荡器、θ函数、量子群和编码理论等.广义的Al-Salam-Carlitz多项式Un(x,y,a|q)和Vn(x,y,a|q)可被定义为

命题1[20]

Al-Salam和Carlitz根据Rogers-Szegö多项式定义的两个离散分布的矩量dα(a)(x)和dβ(a)(x)也可表示为

其中二元的Rogers-Szegö多项式可表示成

Cao推导出的关于矩量积分和Al-Salam-Carlitz多项式之间的关系如下：

根据以上结果，现在给出以下二元生成函数：

注5特别地，在定理8和9中，令m=0,x=0,y=0,a=1,s=0，式(28)和(29)可化为式(26).

定理10

注6特别地，在定理10中，令m=0,x=0,y=0,a=1,s=0，式(30)可化为式(26).

证明利用式(27)中Al-Salam-Carlitz多项式的表示方法，式(28)的左边部分可改写为

根据式(6)，式(31)等于式(28)的右边部分.同样地，式(29)和(30)的左边部分也可以被改写为

利用式(5)，可分别得到式(29)和(30)的右边部分.证毕.