高中数学教学中数形结合方法的有效应用

田娟

【摘要】在高中数学教学中，将方程问题转化为图形问题并进行处理，以便解决数学方程问题，这就是关于数形结合教学的核心方法.本文重点对高中数学教学中存在的问题进行探讨，并重点对数形结合的应用方法、策略等进行了详细的分析，以供高中数学教师参考.

【关键词】高中数学;数形结合;应用方法;应用优势

一、引 言

“数”与“形”是高中数学中两个最重要，最基础的研究对象，两者之间是相互对应的关系，在某种情况下能实现相互转换.在数学解题中，运用数形结合能够使抽象的问题变得更直观化、简便化，可以使学生的解题速度、解题准确率得到有效提升，还能增强学生的学习兴趣.在高中数学教学中，一些教师由于过于关注概念、公式、定理方面的教学，从而忽视了教学方法的传授，数形结合法在高中数学教学中贯串始终，其本质就是数学图形与代数之间的转换.数形结合法的有效使用可以让复杂的问题变得简单化，帮助学生节省做题时间，提高做题准确率.

二、数形结合法的概念与应用原则

众所周知，数与形是高中数学中的两个重要元素，前者代表数量关系，后者代表空间图像，数量关系与图形是可以自由转化的，学生可以利用转化关系来解决数学问题.数形结合法的应用本质就是将数学图像与相关的数学语言相互转化，实现形象思维与抽象思维的结合，从而提高学生的解题能力.

数形结合法的应用有两个原则：

第一，双向性原则.在利用图形来解析题目时，学生必须要对代数的抽象性进行分析，与几何语言相比，代数语言更加直观、清晰，可以避免几何解题法的约束.

第二，等价性原则.等价性原则主要强调几何性质与代数性质转化的等价性，由于用图形解题具有局限，在作图时，难以精确，就会影响解题的效率.因此，利用数形结合法解题，要重点关注等价性原则.

三、当前高中数学教学中存在的问题

（一）数学思维的局限性

相关研究发现，我国当前的高中数学教学中，学生对数形结合的理解并不透彻.受理解的局限性影响，学生在解题中很难去利用数形结合法解决实际问题.这种局限性主要体现在學生难以将抽象概念具体化或者是缺乏抽象思维能力.在数学学习中，大多数学生在审题过程中并不注重利用思维转换模式来找准解题方向.

（二）数学思维的差异性

由于数学学习具有连贯性，使得很多学生的数学基础存在比较大的差异.数学基础的差异决定高中阶段学生在面对同一问题时，有不同的思维方式和思维特点.因此，在高中数学教学中，教师需要对学生进行因材施教.

（三）存在较为严重的思维定式

进入高中阶段后，学生的受教育时间一般也超过了九年，有很多学生形成了固定的思维模式（经验主义），使解题思路陷入僵化，影响学生解决数学问题.此外，在数学教学中，如果没有破除这种固有的思维定式，那么数形结合的解题思路会与学生的思维定式产生碰撞，造成学生思维混乱，更加不利于提升学生解题的实际能力.

四、数形结合在高中数学教学中的应用方法

（一）将抽象的数量用图形直观地表现出来

数和形是一种相互依存，相互对应的关系，一些数量是比较抽象的，我们就可以在图形中找出相对应的数量，然后利用图形的直观性来解决问题.学生能够通过题干中给定的特定条件和图形所隐含的特殊性质，找出其中的特定关系和结构，题目自然就由复杂变简单了.在高中数学教学中将数量关系转化为图形问题比较常见，其中包含：平面几何问题、函数问题、立体几何问题等，对这些来说，首先要对问题题干进行分析，找出已知条件和隐含条件，再根据所求和已知条件进行比较，找出相互联系的点，作出对应的结构图，最后根据已知条件和所学的数理公式，利用图形求证所得结果.

（二）充分发掘图形所隐含的条件

图像确实形象、直观，但在一些复杂的图像中，就会很难将图像数字化，所以必须分析出图形的特殊性质和隐含的条件，利用代数关系式将图形数字化，把图形正确表示成数字的形式，进行计算.

（三）将数量与图形有效结合

数量与图像有效结合，就是以数化形和以形变数的结合，在解决此类数学问题过程中，学生不仅要考虑如何将数值挪到图形当中，而且要充分利用图形的直观性和其他性质，只有数形得到有效结合才能快速正确地解题.在高中数学教学中，数形结合主要体现在解析几何中，解决这类难题，首先，学生要理解数形结合的数学思想;其次，学生要打好知识基础，理解数学概念和运算的几何意义以及图形的特殊性质，并且能准确无误地找到已知条件和目标之间的关系;再次，要能设计参数运用公式建立合适的数形关系体系;最后，根据已知条件给定的范围和图形的性质确定结果的取值范围.

五、高中数学教学中数形结合方法的有效应用策略

（一）高中数学中常见的数形结合思想类型

1.数形结合的思想在集合中的应用

例 某班30人，其中15人喜爱象棋，10人喜爱围棋，8人对这两项活动都不喜爱，则既喜爱象棋又喜爱围棋活动的人数为多少？

解 记30名学生组成的集合为U，喜爱象棋的学生全体为集合A，喜爱围棋的学生全体为集合B.设两项活动都喜欢的学生有x人，则只喜欢象棋的有（15-x）人，只喜欢围棋的有（10-x）人.依题意，（15-x）+x+（10-x）+8=30，解得x=3，所以只喜欢象棋的有15-3=12（人）.

此题可以借助韦恩图把数的问题转化为图形问题，利用图形直观地表现出数形结合的完美解题思想.

另外，集合问题是学生高中数学学习的重点，也是学习图形的实例，韦恩图正是图形应用法的典例，能够将复杂的集合关系展示出来.因此，在遇到类似的问题时，学生可以套用韦恩图，通过建立坐标系来将图形的各个要素具体形象地展现出来.

2.数形结合思想在函数中的应用