均布载荷下四边固支矩形薄板的挠度

摘要：  为求解四边固支矩形薄板在均布载荷作用下的挠度表达式，以利维解为基础利用叠加法将复杂问题分解为多个简单问题，然后进行叠加，获得四边固支矩形薄板在均布载荷作用下的挠度表达式。利用有限元模拟验证表达式的正确性，发现有限元结果与公式结果吻合较好。

关键词：  叠加法; 均布荷载; 矩形薄板; 四边固支; 挠度; 有限元

中图分类号：  TU392; TB115.1文献标志码：  B

Deflection of rectangular thin plates fixed on four sides

under uniform load

MA Renxiang

（College of Civil Engineering， Shandong Jianzhu University， Jinan 250101， China）

Abstract： In order to solve the deflection expression of quadrilateral fixed rectangular plate under uniform distributed load， based on levy solution， complex problems are decomposed into several simple ones by superposition method， by superposition， the deflection expression of the rectangular plate with four sides fixedly supported under uniform load is obtained. The finite element simulation is used to verify the correctness of the expression.

Key words： superposition method; uniform load; rectangular thin plate; fixed on four sides; deflection; finite element

收稿日期： 2021-11-25修回日期： 2021-11-11

作者简介： 马仁香（1996—），女，汉族，山东济南人，硕士研究生，研究方向为结构工程，E-mail： 1378167471@qq.com0引言薄板作为一种常见的结构形式，广泛应用于建筑领域，对于薄板的研究多集中于理论。YU等[1]利用叠加法研究变平面刚度、宽径比和不同边界条件对挠度和弯矩的影响;FEDOSEYEV等[2]研究集中载荷作用在矩形薄板自由边时板的挠度，并给出计算方法;铁摩辛柯等[3]利用简单的三角级数，通过傅里叶级数展开，推导出集中载荷作用下四边简支板的简化表达式;董文堂[4]研究均布载荷作用下四边固支薄板的挠度计算问题，利用实用傅里叶级数乘展法进行简化并得出计算方法，但只有板中心精度较高且只验证中心点位置，其他位置误差偏大;江涛等[5]应用辛叠加方法研究相邻两边固支其余边自由矩形正交各向异性薄板在均匀载荷作用下的弯曲问题;董文堂等[6]利用半解析法研究对边固支对边自由板壳大撓曲变形问题并给出计算表达式;高俊等[7]基于平面闸门研究两对边简支一边固支一边自由以及三边固支一边自由矩形薄板在静水载荷作用下的挠度、内力、应力的分布规律。对薄板的研究，学者们采用不同方法：吴连元[8]利用叠加法得出均布载荷作用下两端固支薄板的挠度计算表达式;陈英杰等[9]利用修正后的功的互等法，研究一边固定三边简支大挠度矩形薄板在均布载荷作用下的挠曲面问题，推导大挠度弯曲矩形薄板的广义位移解;郑妍等[10]利用伽辽金法分别计算四边简支和夹支2种边界条件下的等厚度和变厚薄板的挠度。目前，四边固支矩形薄板在均布载荷作用下的研究还较少，也没有系统的求解公式，纳维叶解法是解决薄板小挠度问题比较简便、有效的方法。其采用简单的三角级数表示挠度表达式，能用于多种情况的载荷，但只局限于简支边界。在固支边界条件下，为满足边界条件，挠曲函数通常设为复合三角函数，但其多阶偏导数组成的弹性微分方程不能合并提取待定系数的挠度表达式。本文以利维解为基础，尝试利用叠加法，获取四边固支矩形薄板的挠曲函数表达式。

1理论推导如图1所示，四边固支矩形薄板承受均布载荷q，挠度计算可采用叠加法，由均布载荷作用下四边简支板Ⅰ、y=±b/2端作用力矩另两端简支板Ⅱ、x=±a/2端作用力矩另两端简支板Ⅲ叠加。图中：a为薄板长边，b为薄板短边，q为均布载荷，Mx、My均为力矩。

2有限元验证

2.1算例1图2（a）所示为四边固支矩形薄板，长4 800 mm，宽2 400 mm，作用有面载荷q=1 N/mm2。利用Abaqus有限元软件，采用壳单元建立模型，材料为理想弹塑性模型，弹性模量E=206 GPa，泊松比υ=0.3。有限元计算的位移云图见图2（b），部分节点的位移见表1。表中给出由式（4）计算的挠度，二者最大偏差11.7%、平均偏差7.5%。

2.2算例2图3（a）所示的四边固支方形薄板长4 200 mm，有限元计算的位移云图见图3（b），部分节点的位移见表2，表中给出由式（4）计算的挠度，最大偏差13.2%，平均偏差7.8%。

以上2个算例的精度较高，大部分节点挠度与推导公式计算的挠度偏差在10%以内，只有小部分偏差在10%以上但不超过14%，偏差较大可能是因为叠加法只是简单地分解后再进行叠加，无法计算板Ⅰ与板Ⅱ之间的相互影响。

3结论叠加法是一种建立在简单问题基础上求解复杂问题的实用方法，尽管叠加法比较累赘，工作量较大，但可把求解的困难分解，利用已有结果解决复杂问题。本文利用叠加法给出均布载荷作用下四边固支矩形薄板的挠度表达式，运用有限元软件建立模型，获得矩形薄板任一点挠度，验证公式的准确性。从上述的理论推导与算例验证结果可知，公式具有较高的求解精度，且表达式具有良好的收敛性，可在以后的相关工程中起到一定作用，但公式比较繁琐，更简化的公式还有待研究。参考文献：

[1]YU T C， NIE G J， ZHONG Z， et al. Analytical solution of the bending problem for rectangular orthotropic plates with a variable in-plane stiffness[J]. Mechanics of Composite Materials， 2021， 57： 115-124. DOI： 10.1007/s11029-021-09938-1.

[2]FEDOSEYEV V N， YAGNYATINSKIY D A. Deflection of a thin rectangular plate with free edges under concentrated loads[J]. Mechanics of Solids， 2019， 54（5）： 750-755. DOI： 10.3103/S0025654419050078.

[3]S·鐵摩辛柯，S·沃诺斯基. 板壳理论[M]. 北京： 科学出版社， 1977.

[4]董文堂. 固支边矩形薄板的纳维叶解法[J]. 黄石高等专科学校学报， 1999， 15（1）： 1-4.

[5]江涛， 额布日力吐. 相邻两边固支其余两边自由矩形正交各向异性薄板弯曲的辛叠加解[J]. 应用力学学报， 2020， 37（5）： 2214-2221. DOI： 10.11776/cjam.37.05.B080.

[6]董文堂， 邹东峰. 对边固支对边自由板壳大挠曲变形的半解析解法[J]. 工业建筑， 2000， 30（6）： 31-33. DOI： 10.13204/j.gyjz2000.06.007

[7]高俊， 党发宁， 李海斌， 等. 静水荷载作用下矩形薄板力学特性研究及其应用[J]. 应用力学学报， 2018， 35（5）： 1029-1036.  DOI： 10.11776/cjam.35.05.B049.

[8]吴连元. 板壳理论[M]. 上海： 上海交通大学出版社， 1989.

[9]陈英杰， 宋小惠. 应用修正的功的互等法求解大挠度矩形薄板弯曲问题[J]. 塑性工程学报， 2018， 25（2）： 175-182. DOI： 10. 3969 /j. issn. 1007-2012. 2018. 02. 025.

[10]郑妍， 谢根全. 变厚度矩形薄板的静挠度分析[J]. 湖南文理学院学报（自然科学版）， 2019， 31（1）： 7-11. DOI： 10.3969/j.issn.1672-6146.2019.01.003.（编辑陈锋杰）