基于区间值t-可表示三角范数的广义五蕴涵方法及其在多属性决策中的应用

徐东辉,罗敏霞

(中国计量大学 理学院,浙江 杭州 310018)

理论与应用相辅相成,模糊理论的发展,推动了模糊控制领域的发展,而模糊控制的核心部分是模糊推理,它有两个最基本的形式:模糊假言推理(fuzzy modus ponens,FMP)和模糊拒取式推理(fuzzy modus tollens,FMT)。针对这类问题的解决,Zadeh[1-4]提出了合成推理规则(compositional rule of inference,CRI)方法。但是CRI方法存在一些缺陷,因此Wang[5]提出全蕴涵模糊推理方法,克服了CRI方法本身缺乏逻辑基础和还原性的缺点。在实际应用中,全蕴涵模糊推理方法的计算结果有时候会不尽人意,即出现平凡解的情况,这会导致问题无法被解决。故此,Zhou[6]等人在考虑到A和A*(或B和B*)之间贴近度的因素下,提出了五蕴涵方法,改进了全蕴涵3I方法的缺陷。以上这些方法,都是在基于模糊集的环境下所提出的推理方法。

虽然模糊集能处理信息的模糊性,但是有时候会造成信息的缺失和被数据类型所局限。因此,为了更好地描述信息的模糊性和不确定性,并且有效地减少信息丢失,Zadeh[2-4]在1975年提出区间值模糊集的概念。为了更进一步研究模糊推理,很多研究者就结合了模糊集上的许多推理方法,将这些方法推广到区间值上,模糊集上的推理方法就作为区间值上的特殊情况,进而增加了应用的广度。文献[7-9]分别将CRI方法、全蕴涵模糊推理方法、五蕴涵方法从模糊集扩展到区间值模糊集上,但是这些研究都是基于区间值相关联三角范数诱导下的剩余蕴涵上的推理算法。这一点局限了算子的运用,因为区间值相关联三角范数只是由一个三角范数生成。

文献[10]提出t-可表示三角范数,它是利用两个满足一定条件的三角范数来生成。因此研究基于t-可表示三角范数诱导的剩余蕴涵的推理算法时,区间值相关联三角范数就作为其特殊情况,从文献[11]可以得到这一结论,这就明显突出区间值t-可表示三角范数相较于区间值相关联三角范数的优越性。文献[12]利用区间值t-可表示三角范数将全蕴涵模糊推理方法推广到区间值模糊集上,但其存在不足之处,应用时会出现反直觉的情况。因此,文献[13]改进了这一方法,结合五蕴涵方法和t-可表示三角范数做推理算法,提出一种新的区间值五蕴涵方法,并且将其运用到模式识别和医疗诊断中,能够很好地解决问题,但是灵活性方面不足。在应用时,有时候可能不会达到预期的要求,这时就需要进行取舍,达到预期结论的大部分程度也可,即下限达到。因此,我们提出一种广义形式的五蕴涵方法,通过参数,来控制模型的契合或是拟合程度,以此来达到灵活应用的目的,并将其应用于多属性决策问题。

1 预备知识

定义1.1[14]若一个二元映射T:[0,1]2→[0,1]满足交换律、结合律、单调性和边界条件,即对任意的a,b,c∈[0,1]满足下列条件

1) 交换律:T(a,b)=T(b,a);

2) 结合律:T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c));

3) 单调性:T(a,c)≤T(b,c),其中a≤b;

4) 边界条件:T(a,1)=1,

则T称为三角范数。

定义1.2[14]若一个三角范数T,对任意的(x0,y0)∈[0,1]2,ε>0,存在δ>0,使得当(x,y)∈(x0-δ,x0]×(y0-δ,y0]时,有T(x,y)>T(x0,y0)-ε成立,则T称为左连续的。

定义1.3[15]对任意a,b∈[0,1],由左连续三角范数T诱导的剩余蕴涵R定义如下:

R(a,b)=sup{x∈[0,1]|T(a,x)≤b}。

例1.1[16]几个重要的左连续三角范数及其剩余蕴涵:

TL(a,b)=0∨(a+b-1),

RL(a,b)=1∧(1-a+b)。

2) Gödel三角范数TG及其剩余蕴涵RG:

TG(a,b)=a∧b;

3) Goguen三角范数TGo及其剩余蕴涵RGo:

TGo(a,b)=ab;

令SI={[x,y]|x≤y,x,y∈[0,1]},在SI上的序为分量序,需要满足下列条件,当a≤c且b≤d时,有[a,b]≤[c,d],且它也是SI上的偏序。因此,当且仅当[a,b]≤[c,d]时,有[a,b]∧[c,d]=[a,b]且[a,b]∨[c,d]=[c,d],并且代数结构(SI,∧,∨,[0,0],[1,1])是一个完备格。

定义1.4[17]非空集合X上的区间值模糊集可以被表达如下:

本文中,令非空集合X={x1,x2,…,xn},我们用SI(X)表示集合X上的所有区间值模糊子集的集合。现在我们记区间值模糊集

因此对∀xi∈X,我们取下面的两个集合

则它被称为t-可表示的。

定义1.8[11]对∀[a,b],[c,d]∈SI,区间值t-可表示剩余蕴涵定义如下:

这里R1和R2分别是由左连续三角范数T1和T2诱导的剩余蕴涵,并且有T1≤T2。

例1.2几个重要的区间值t-可表示三角范数及其诱导的区间值剩余蕴涵:

2 基于区间值t-可表示三角范数的广义五蕴涵算法

我们可以根据已有的五蕴涵模型进一步优化,得到新的五蕴涵模型。

基于区间值t-可表示三角范数的五蕴涵模型(FMP)[13]:

基于区间值t-可表示三角范数的五蕴涵模型(FMT)[13]:

由于应用的需要和灵活性,基于上面的两个模型,我们加入参数,使得模型可以在更广泛的领域里进行应用,提出了下面两个广义形式的五蕴涵模型。

基于区间值t-可表示三角范数的广义五蕴涵模型(FMP):

(1)

基于区间值t-可表示三角范数的广义五蕴涵模型(FMT):

(2)

(3)

故式(3)是广义五蕴涵模型(FMP)的解。

由上面的证明,同理可得

它退化为文献[13]定理2.1。

(4)

故式(4)是广义五蕴涵模型(FMP)的解。

由上面的证明,同理可得

它退化为文献[13]定理2.2。

3 实际应用

在应用中,由于信息的复杂性,有时候我们需要对从信息中得来的数据进行转换或者合并成一个可表示值,这时候就需要用到信息聚合,而聚合算子就尤为重要,下面我们就介绍一个聚合算子。

在实际应用中,我们需要对处理后的区间值模糊集上的数据进行比较,即需要进行排序,于是我们定义下面的精确函数和分数函数来进行数据比较。

为了处理数据,在多属性决策应用中,我们需要建立相应的决策矩阵。

表1 多属性决策应用的决策矩阵Table 1 Decision matrix for muti-attribute decision

表2 预期方案属性参考值Table 2 The reference values of each attribute of the expected alternative

第一步:数据预处理,将数据进行同类型转化,利益或成本统一化,量纲系数化,整体数据归一化(已经过预处理数据省去此步)。

例3.1某投资银行拟对5家企业Y={y1,y2,y3,y4,y5}进行投资,主要关注下面6项指标进行决策来选择最合适的一家进行投资,即产值、投资成本、销售、国家受益情况、环境污染状况、发展前景,为了方便处理数据,对上述6项指标数据进行数据预处理,以此转化为同类型数据,变为下面新的6项指标。

x1:产值系数指标;x2:投资成本系数指标;x3:销售系数指标;x4:国家受益情况系数指标;x5:环境污染状况系数指标;x6:发展前景评估系数指标。

表3 投资银行对企业指标的决策矩阵Table 3 Investment bank decision matrix for the enterprises based on the indicators

表4 投资银行预期指标参考值Table 4 The reference values given by the investment bank to the expected indicators

表5 投资银行预期企业衡量参考值Table 5 The reference values given by the investment bank to enterprise measurement

第一步:我们得到的数据已进行了处理。

表6 企业预期指标的聚合值Table 6 Aggregate values of each enterprise's expected indicators

第七步:利用分数函数si和精确函数hi进行排序,其数据及决策结果排序如表7。

因此,从表7我们可以看出企业y3是最符合投资公司要求的企业,这一结论与文献[13]中得到的结果一致,如表8。

表7 模型过渡量和排序Table 7 Model transitions and the

表8 两种方法结果比较Table 8 Comparison of methods

从例3.1可以看出,文献[13]所提出的方法和我们所提出的方法,对解决多属性决策问题得到结果是一致。

4 结 论

在本文中,我们给出几个重要的区间值t-可表示三角范数及其相应区间值剩余蕴涵,并以此为运算工具,结合区间值五蕴涵方法,添加可控参数提出广义区间值五蕴涵方法,并把它应用到多属性决策中。通过多属性决策的例子,与参考文献[13]的方法比较,得到相同的决策结果,从而说明本文的方法是合理有效的。未来,我们将考虑将模型应用到模式识别和医疗诊断等领域中。