尖子生抛物线及其几何性质拔高训练

■河南省河南师大附中西校区

■河南省许昌高中 陈俊涛

一、选择题

1.已知抛物线C：x=8y2，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )。

2.直线l过抛物线y2=2x的焦点F，且直线l与该抛物线交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1+x2=3，则弦AB的长是( )。

A.4 B.5 C.6 D.8

3.已知抛物线y2=2px(p＞0)，过抛物线的焦点作x轴的垂线，与抛物线交于A，B两点，点M的坐标为(-2，0)，且△ABM为直角三角形，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程为( )。

A.y2=8x

B.y2=-8x

C.y2=-4x

D.y2=4x

4.点P在曲线y2=4x上，过P分别作直线x=-1及y=x+3的垂线，垂足分别为G，H，则|PG|+|PH|的最小值为( )。

5.已知抛物线y2=2px(p＞0)，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点(点A在第一象限)，且，则直线l的倾斜角为( )。

6.已知抛物线y2=2px(p＞0)的准线与圆x2+y2-4y=0 相交所得的弦长为，则p的值为( )。

7.已知抛物线C：x2=12y上一点P，直线l：y=-3，过点P作PA⊥l，垂足为A，圆M：(x-4)2+y2=1 上有一动点N，则|PA|+|PN|最小值为( )。

A.2 B.4 C.6 D.8

8.抛物线C：x2=4y上一点P到抛物线C的焦点F的距离为4，若直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则|QF|等于( )。

9.已知抛物线C：x2=4y，直线l与抛物线C交于M，N两点，焦点为F，，令R(xR，yR)，若yR=|MN|-1，则∠MFN的最大值为( )。

10.已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点(设点A在第一象限)，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，若△AFA1为等边三角形，△BFB1的面积为S1，四边形A1B1BF的面积为S2，则=( )。

11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点A(2，0)的直线与抛物线交于M，N两点，直线FM，FN又分别与抛物线交于点P，Q，设直线PQ与MN的斜率分别为k1，k2，则=( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

12.抛物线y2=2px(p＞0)的准线交x轴于点C，焦点为F，过点C的直线l与抛物线交于不同两点A，B，点A在点B，C之间，则( )。

A.AF·AB=BF2

B.AF+AB=2BF

C.AF·AB＞BF2

D.AF+AB＜2BF

13.已知抛物线y2=2px(p＞0)，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线上的两点，AB的中点到抛物线准线的距离为5，△ABO的重心为F，则p=( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

20.如图1，抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，斜率k=1的直线l过焦点F与抛物线交于A、B两点，若抛物线的准线与x轴交点为N，则tan∠ANF=( )。

图1

21.已知抛物线C：y2=2x，过点E(a，0)的直线l与抛物线C交于不同的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且满足y1y2=-4，以Q为中点的线段的两端点分别为M，N，其中N在x轴上，M在抛物线C上，则|PM|的最小值为( )。

22.若抛物线y=x2上存在不同的两点A、B关于直线y=kx+对称，则k的取值范围是( )。

23.设AB是过抛物线y2=4x的焦点F的一条弦(与x轴不垂直)，其垂直平分线交x轴于点G，设|AB|=m|FG|，则m=( )。

24.已知过点(2，0)的直线与抛物线y2=2x相交于P，Q两点，点A(-2，2)，若直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，则k1·k2的取值范围是( )。

25.已知点M(-3，-2)，抛物线x2=4y，F为抛物线的焦点，直线l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P作PQ⊥l，点Q为垂足，过P作FQ的垂线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为( )。

二、填空题

三、解答题

61.已知动圆M过定点A(0，2)，且在x轴上截得的弦长为4。

(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；

(2)设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交手不同两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，若=2，求证：直线l过定点。

62.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)上的点M(2，m)到焦点F的距离为3。

(1)求p，m的值；

(2)过点P(1，1)作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l的方程。

63.已知抛物线y2=2px(p＞0)上一点M(m，2)到其焦点F的距离为2。

(1)求该抛物线的标准方程；

(2)过x轴正半轴上一点N(n，0)作倾斜角为的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求的值。

64.过抛物线C：x2=2py(p＞0)焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，交准线于点M，当|AB|=12 时，AB的中点到x轴的距离是5。

(1)求抛物线C的方程；

65.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点。

(1)若F(2，0)，直线l的斜率为2，求△OMN的面积。

(2)设点P是线段MN的中点(点P与点F不重合，点Q(x0，0)是线段MN的垂直平分线与x轴的交点，若给定p值，请探究：是否为定值? 若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

66.已知点A(0，2)，B为抛物线x2=2y-2上任意一点，且B为AC的中点，设动点C的轨迹为曲线E。

(1)求曲线E的方程。

(2)点A关于直线y=x的对称点为点D，是否存在斜率为的直线l交曲线E于M，N两点，使得△MDN是以MN为底边的等腰三角形? 若存在，请求出△MDN的面积；若不存在，请说明理由。