圆锥曲线综合问题热点题型分析

■安徽省利辛高级中学胡彬名师工作室

圆锥曲线的综合题型包括：圆锥曲线与直线或与圆的联立问题；直线与曲线、曲线与曲线的位置关系问题；圆锥曲线与其他知识(如函数、数列、不等式、向量、导数等)的综合问题。

圆锥曲线的综合问题已经逐渐向多元化、复杂化发展，视分类标准而定，常可分为：弦长问题、中点弦问题、范围与最值问题、定点(值)问题、轨迹问题与探索性问题，同时还增加开放性等创新型问题，笔者通过对该类问题的归纳发现：除了具有必备知识、关键能力，还要具有良好的数学核心素养，才能较好地处理此类综合问题。下面以典型例题来分类剖析这类问题。

热点题型1 弦长问题

例1(2020 年郑州模拟卷)已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点为F，直线l：y=2x-2，直线l与抛物线E的交点为A，B，同时|AF|+|BF|=8，直线m∥l。直线m与抛物线E的交点为C，D，与y轴交于点P。

(1)求抛物线E的方程；

点评：当直线和圆锥曲线相交时，求弦长问题的方法有以下几种：

(1)定义法，过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题过程;

(2)点距法，将直线方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长;

(3)弦长公式法，它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系求解。

热点题型2 中点弦问题

例2(2019年泉州模拟卷)已知抛物线C：x2=2py(p＞0)的焦点为F，点A，B在抛物线C上，F为线段AB的中点，|AB|=4。

(1)求抛物线C的方程；

(2)过F的直线l与抛物线C交于M，N两点，若抛物线C上仅存在三个点Ki(i=1，2，3)，使得△MNKi的面积等于16，求直线l的方程。

(2)综合法，设中点弦所在直线的方程，并与圆锥曲线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系可得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，于是得到直线的斜率，进而获解。

热点题型3 范围问题

例 3(2020年福建模拟卷)如图1，椭圆C：1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2，且B1(0，1)，△A1B1B2为等边三角形，过点(1，0)的直线与椭圆C在y轴右侧的部分交于M、N两点。

图1

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求四边形B2MNB1面积的取值范围。

点评：范围问题常用解题方法：

(1)函数法，利用函数的思想，将所求问题转化为某个变量的函数，再用代数方法解决;

(2)基本不等式法，通过等价转化，把问题转化为基本不等式型问题求解;

(3)判别式法，利用方程的思想，注意一元二次方程判别式的运用。

热点题型4 最值问题

例4(2020 年安徽模拟卷)已知为椭圆C：=1(a＞b＞0)上的一点，F为椭圆的右焦点，且PF垂直于x轴，不过原点O的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点M在直线OP上。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当△ABP的面积最大时，求直线l的方程。

(2)因为不过原点O的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点M在直线OP上，所以直线l的斜率存在且不为0。

设直线AB：y=kx+t(k≠0，t≠0)，代入椭圆的方程，整理得：

分析可知，当t∈(-2，-1)时，函数y=f(t)为增函数；当t∈(-1，0)，t∈(0，2)时，函数y=f(t)为减函数。所以当t=-1时，△ABP的面积取得最大值。

综上，当△ABP的面积取得最大值时，直线l的方程为y=-x-1，即x+2y+2=0。

点评：最值问题有以下两种常见解法。

(1)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，可先建立目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、换元法、均值不等式法、单调性法。

(2)几何法，若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用几何图形性质来解决。

热点题型5 定点问题

例5(2020年吉林模拟卷)已知O为坐标原点，椭圆+x2=1的下焦点为F，过焦点F且斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点。

点评：定点问题的两种解法：

(1)探求法，由特殊到一般的方法，根据动点或动直线的特殊位置情况探索出定点，再证明该定点与变量无关;

(2)参数法，直接推理、计算，将要求的定值表示为某个变量的函数关系，再化简这个关系，消去变量，从而得到定值。

热点题型6 定值问题

例6(2020 年济南模拟)已知椭圆=1(a＞b＞0)的左顶点和下顶点分别为A，B，且|AB|=，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2。

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知M为椭圆C上一动点(M不与A，B重合)，直线AM与y轴交于点P，直线BM与x轴交于点Q，证明：|AQ|·|BP|为定值。

所以|AQ|·|BP|为定值16。

点评：(1)求出待求定值式的代数表达式;(2)对代数表达式进行化简、整理，消去变量，得到定值，有时可从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。

热点题型7 轨迹问题

例7(2020年郑州模拟卷)在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点F(3，0)的距离与A到定直线x=4距离的比值为。

(1)求动点A的轨迹C的方程；

(2)设点M，N是轨迹C上两个动点，直线OM，ON与轨迹C的另一交点分别为P，Q，且直线OM，ON的斜率之积等于-，问四边形MNPQ的面积S是否为定值，请说明理由。

点评：求轨迹方程的常用方法有：

(1)直译法，先表示出动点P满足的几何等量关系，再用P(x，y)的坐标表示该等量关系;

(2)相关点法，若P(x，y)点的运动是由另一点P′(x′，y′)运动引发的，且P′(x′，y′)的运动规律已知，则用P(x，y)表示出P′(x′，y′)的坐标，代入动点P′的方程即可;

(3)待定系数法，若已知动点P的运动规律符合已知的某种曲线的定义，则可先设出方程，再根据已知条件求出方程中的系数;

(4)交轨法，求两条曲线的交点轨迹问题，通常用解方程组方法求出交点坐标，再消参得到所求方程;

(5)参数法，寻求引发动点P运动的几何变量t，将P(x，y)的横坐标、纵坐标用t表示，进而消去参数t。

热点题型8 探索性问题

(2)当直线EF的斜率为零时，则点E，F为椭圆长轴的端点。

点评：常见的题型有存在性探究问题、条件探究性问题、结论探究性问题等。解题需要经历观察、试验、类比、归纳、猜想等探究活动，需要把直觉思维与逻辑思维结合起来，此类题型具有较高的训练价值。