基于变式教学的数学抽象核心素养的培养*——以曲线的参数方程概念教学为例

广东省中山市中山纪念中学(528454) 樊 彪

2017 版课程标准凝练提出了数学学科的6 个核心素养,即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.其中数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.数学抽象主要表现在四个方面: 形成数学概念和规则,形成数学命题与模型,形成数学方法与思想,形成数学结构与体系,是数学最本质的属性之一.而变式就是在引导学生认识事物属性的过程中,不断变更所提供材料或事例的呈现形式,使本质属性保持稳定而非本质属性不断变化,从而更好的认识事物本质属性的方式.在数学概念的教学中,如果我们能够恰当的运用变式教学,则无疑有利于培养学生的抽象素养.

数学概念是数学知识系统中最基本的重要组成成分,是数学思维的单元和细胞,也是学生学习数学的重要基础.学生数学学习程度的好坏,首先在于数学概念的理解与掌握程度.因此如何加强学生对数学概念理解与应用成为摆在教师面前的迫切任务,而提升概念教学,其中最有效的办法是抓住数学核心概念的教学,利用好概念性变式教学,让学生充分体验数学抽象的完整过程,熟悉数学抽象的基本手段.

数学概念的学习可分为两种基本形式: 一是概念形成;二是概念同化.概念性变式在教学中的主要作用是通过各种概念变式之间、以及概念变式与非概念变式之间的差异与联系来把握概念的内涵与外延,实现对概念的多角度理解.数学概念变式主要包括概念的引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式.

下面以曲线的参数方程这一核心概念的形成为例来说明如何进行概念的变式教学,达到培养学生的数学抽象核心素养的目的.

1 概念的引入变式

我们之前学习过曲线的方程,请同学们思考并解决以下问题:

1.如图, 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行.从飞机上投下一救援物资,请确定t(0 ≤t≤10)秒后该物资的位置.

2.位于中山市兴中广场上的幻彩摩天轮,是岐江河上一道靓丽的风景.已知该摩天轮半径为42 米,每秒逆时针转动弧度.如图所示,某游客现在P0点(其中P0点和转轴O的连线与水平面平行).问: 经过t秒,该游客的位置在何处?

给出上述两个问题的目的: 引导学生建立平面直角坐标系,把实际问题抽象到数学问题并加以解决:

1.通过生活中的实例和具体的情景,引发学生研究的兴趣;

2.通过解决问题明确学习参数方程的现实意义;

3.通过对问题的解决,使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果,从而了解学习曲线的参数方程的必要性;

4.通过具体的问题,让学生找到解决问题的途径,为研究圆的参数方程作准备.

通过同学们分组讨论,归纳以上两个例子的共同点,初步形成曲线参数方程的概念.这个过程充分体现了用数学的眼光观察世界,用数学的思维分析世界,用数学的语言表达世界.学生们有了充分的感性认识后,正式给出曲线的参数方程的定义:

(i)一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数

并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点P(x,y)都在这条曲线C上,那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程.变数t叫做参变量或参变数,简称参数.

(ⅱ)相对于参数方程来说,直接给出曲线上点的坐标x、y间关系的方程f(x,y)=0 叫做曲线的普通方程.

2 概念辨析变式

曲线的参数方程这个概念比较复杂,同学们可能一下子很难完全理解,为此,最好的办法就是在引入概念后,通过一些简单具体的例子对概念进行理解和辨析,为此设置如下:

例1曲线C的参数方程为t为参数

(1)判断点M1(0,1)、M2(5,4)是否在曲线C上;

(2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值.

再一次通过具体的例子感受参数方程的形式,以及在参数方程下点和曲线的关系,加深对参数方程的认识.

例2判断以下方程是否为参数方程? 它们表示什么曲线?

(1)x2+y −4=0,(2)kx −y+1=0,k为参数

例2 给的是反例变式,通过反例变式学生可以进一步明确了参数方程概念的外延和内涵,体现了由抽象到具体的过程.

3 概念深化变式

在概念引入例子的基础上,我们可以进一步抽象出圆的参数方程.

例3写出圆x2+y2=r2的参数方程.

如图,由摩天轮的引例不难想到,圆x2+y2=r2可以看作质点P以OP0为始边绕着点O按逆时针方向绕原点以匀角速度ω作圆周运动,则质点P的坐标与时刻t的关系由任意角三角函数的定义可知:

点P的角速度为ω,运动所用的时间为t,则角位移θ=ωt,那么方程组①可以改写为何种形式?

结合匀速圆周运动的物理意义可得:

在以上基础上,我们可以从以下几个方面对曲线的参数方程的概念进行深化理解:

①参数方程的形式

横、纵坐标x、y都是变量t的函数,给出一个t能唯一的求出对应的x、y的值,因而得出唯一的对应点;但横、纵坐标x、y之间的关系并不一定是函数关系.

②参数的取值范围

在表述曲线的参数方程时, 必须指明参数的取值范围;取值范围不同,所表示的曲线也可能会有所不同.为此,可以设置如下问题:

例4判断以下方程是否为参数方程? 它们表示什么曲线?

③参数方程与普通方程的统一性

普通方程是相对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系,而参数方程是通过变数t反映坐标变量x与y之间的间接联系;普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式;参数方程可以与普通方程进行互化:

④参数的作用

参数作为间接地建立横、纵坐标x、y之间的关系的中间变量,起到了桥梁的作用.

⑤参数的意义

如果参数选择适当,参数在参数方程中可以有明确的几何意义,也可以有明确的物理意义,可以给问题的解决带来方便.即使是同一条曲线,也可以用不同的变数作为参数.如圆的参数方程中的参数t和θ.

通过多角度,正反面全方位的对概念进行深化辨析,使得抽象的概念更加明晰.在这一过程中,学生形成对此类问题的一般性思考的习惯,逐渐培养数学抽象素养.

4 概念应用和巩固变式

为了进一步巩固概念,可以设置如下问题:

例5炮弹的发射角为α,发射的初速度为v0,求弹道曲线的方程(不计空气阻力).

此问题也是引例中抛物线的参数方程的进一步深化,通过此问题达到对概念的进一步应用和巩固.

作为一堂概念课,学生对于概念的理解必须精确、深入,为后续课程打下扎实的基础,因此教师必须在概念课教学这一环节进行深入的分析.本节概念课设计利用变式教学的思想由特殊到一般,从具体到抽象,以“引导设问”为主线,给学生搭建脚手架,在曲线的参数方程的概念引入之后,结合实例和圆的参数方程从参数方程的形式、参数的取值范围、参数方程与普通方程的统一性、参数的作用以及参数的意义等方面进行深入的理解与探讨.通过概念的标准变式和非标准变式,反例变式等环节,使学生活跃的思维逐步从感性上升到理性并且对于概念的理解得到巩固与深化.通过教师步步引导让学生体验知识产生的原因,发展的过程及其应用的价值.学生通过对问题的思考和解答,体验学习过程,自主探索和获取知识,同时在探索的过程中也提高学生的数学抽象思维能力,体会到数学抽象形成的一般过程,从而提高数学抽象核心素养.