数学课怎么上出数学味道——以复数教学为例

江苏省太仓市明德高级中学(215400) 江海华

章建跃先生指出:“学科育人”的关键是要发挥学科的内在力量.这个内在力量是一种聚焦在人的全面发展上的“合力”,是以学科知识为根基的.把数学教好是落实数学核心素养的前提,让数学课堂更有“数学味道”是发挥“数学育人”的一项有效手段.大量教学实例表明,部分教师容易忽视概念教学的极端重要性,往往简单片面的采用“一个定义、三项注意、几个例题、大量练习”的解题教学来代替概念教学,仍旧以“会解题才是硬道理”的应试思路来指导数学教学,从某种程度上说,这不是真正的数学教学,恰恰是极为低级和短视的做法,这种局面必须得到彻底的改变.数学教学如果总是形式化地教数学概念,而忽视了概念背后蕴含的一系列数学思想与方法,学生长期缺乏这种潜移默化的熏陶,落实“学生发展核心素养”的任务就是空谈.努力提升数学课堂的“数学味道”,首先应充分阐述研究该“数学概念”的必要性,关键是在建立相关概念的联系的过程中,要注意对学生批判性思维的培养,教师要对某些知识难点多问为什么,尽量减少告诉学生是什么,在辨析和交流中实现“概念的精细化”理解.需要强调的是,试图不求甚解的运用那些高大上的理论来指导数学教学,教师是不能在课堂中自觉有效的落实“数学育人”的目的的.尝试用具体的数学案例为载体,以学生之道让他们经历完整的“发现问题—研究问题—辨析性质—应用拓展”过程,有意识地培养学生学会用数学的眼光观察问题,用数学的思维思考问题,能用数学的方法认识问题和解决问题,才是“数学育人”的可操作性表达.

数是中学数学中一个最基本的概念,它的涵义在不同阶段实际是不同的,经历了一个长期发展的过程,从大体上看,是由自然数到整数、有理数、然后是实数再到复数,这个过程反映了人类对客观世界认识的不断深入.由于教材中并没有明确指出数的概念的发展历程,学生对数系扩充的历史背景也不甚清楚.而复数的引入是数系扩充过程中纯粹创造性的理论,不仅具有数学的发现和创造过程的典型性,而且也是数学从内部需求出发逐步完善发展成一套完备的科学体系的典型课例.接下来,笔者试图通过“复数的引入与数系的扩充”课例谈谈对“有数学味道”的课堂的理解.

1 “有数学味道”的课堂要体现“以思为核, 以导为先”的设计理念

1.1 直面问题情境,自然提出数学问题

随着研究实际问题及某些纯数学问题发现,若仅局限在整数的范围内,有些问题几乎是无法处理的.例如,在解决一个实际问题中列出了一个二次方程ax2+bx+c= 0.这个方程有没有解就与未知量所代表的对象有关,即与自变量所允许的取值范围有关.又如,任意两个整数的商不一定是整数,这就是说,限制在整数的范围内,除法不是普遍可以做的,而在有理数范围内,只要除数不为零,除法总是可以做的.因此, 在数的不同的范围内同一个问题的回答可能是不同的.这类问题的研究促进了人们在数的认识上的不断深化.出于这种目的,我们就有必要研究实数系进一步扩充的问题.

1.2 类比实数结构,合理构建数学模型(新数集)

当然, 可以直接引入一个新数i, 使得该数是方程x2+1=0 的解,即i2=−1.再把这个新数添加到实数集中,为了方便起见,当我们把这些数当作整体来考虑的时候,常称它为一个数的集合,简记作A,那么方程x2+1=0 在A中有解.需要强调的是,在教学过程中,教师要指出实数集与新集合A的区别,本质上绝对不是多一个元素的问题.数不仅仅是一个符号,还应关注该数集中的元素所满足的一系列代数法则.我们从数集A出发,希望新引进的数i和实数之间仍能像实数系那样进行加法和乘法运算.先约定: 把实数a与新加入的数i相加,结果记作a+i,把实数b与i相乘,结果记作bi,把实数a与实数b和i相乘的结果相加,结果记作a+bi.容易发现,按照上述定义的加法与乘法法则,运算律仍然成立,从而这些运算的结果都可以写成a+bi(a,bmathrminR)的形式.特别的,实数a和数i,都可以看作是a+bi(a,b ∈R)这样的形式,此时若把所有这样的数都添加到数集A中,则该新数集可记作C={a+bi|a,b ∈R}, 从数的表示方法上, 实现了从实数系到更大数系的扩充.在数集C中任取a+bi,c+di(a,b,c,d ∈R),我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.因此,接下来的工作是先构建扩充后的数集C中的代数结构,再进一步研究其代数性质.

一般地,在数学中,关于数的加减乘除运算的性质通常称为数的代数性质.而代数所研究的问题又主要涉及数的代数性质.事实上,这方面的大部分性质是有理数、实数的全体所共有的.因此,我们仍希望通过在数集A中新定义加法、减法、乘法、除法运算,使数集A满足的代数性质与有理数集、实数集所满足的代数性质保持一致.这是数学推广的一个基本思想: 使得在原来的范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立.

基于上述设想,教材中对复数集中的加法、减法、乘法、除法法则作如下规定: 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数, 那么称z1+z2为复数z1与复数z2的和, 仍用符号“+”表示复数的加法:z1+z2= (a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i.

很明显,这两个复数的和仍是一个确定的复数.容易验证,复数的加法也满足交换律、结合律,与实数间的加法满足的性质相同.这是很容易通过类比实数的加法法则想到的.只需要给学生强调: 两复数的加法相当于实部与实部相加,虚部与虚部相加.

类比实数集中减法的意义,规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足(c+di)−(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差,记作(a+bi)−(c+di),仍用符号“−”表示复数的减法.根据复数相等的定义得到(a+bi)−(c+di) = (a −c)+(b −d)i,这就是复数的减法法则.容易发现减法法则仅基于两复数相等和复数的加法法则的规定就可以得到.由此可见,两个复数的差也是一个确定的复数.

进一步地, 规定复数的乘法法则为: 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,称z1·z2为复数z1与复数z2的积,仍用符号“·”表示复数的乘法,也可省略.

发现两个复数相乘类似于两个多项式相乘,积是一个确定的复数.由于两复数的乘法法则比较复杂,笔者认为,在教学过程中,教师应当详细验证复数的乘法对交换律、结合律,且乘法对加法的分配律是否满足,当然,这都是对复数的加法、乘法而言.否则,若不加证明的就认为复数可以直接继承实数的一系列性质,那我们教授这堂课的意义在哪? 强化计算能力吗? 需要强调的是,对于数学中的一系列定义,教师在课堂中要有意识的带领学生共同去探讨辨析新旧概念的区别与联系,切不可走马观花,草草了事.

类比实数的除法是乘法的逆运算, 这里也规定复数的除法是乘法的逆运算.规定复数的除法法则是:(a+bi)÷(c+di) =称为复数z1与复数z2的商, 仍用符号“÷”表示复数的除法.由此可见,两个复数相除(除数不为0),所得的商仍是一个确定的复数.

于是,我们在复数集上重新定义了加法、减法、乘法、除法.对于两复数的加法、减法、乘法法则的规定是容易想到和理解的,这里只对除法法则进行说明,以试图解释复数的除法法则的发现契机.

一方面,因为

所以,教材中这样规定的除法确实是乘法的逆运算.

另一方面,那这样的规定是基于怎样的发现呢?

首先, 怎么规定一个虚数除以一个实数呢? 以(a+bi)÷3 为例: 一方面, (a+bi)÷3 =·(a+bi) =这是按照规定的乘法法则得到的结果; 另一方面, 按照规定的除法法则得到的结果是和按照乘法法则得到的结果一致.换句话说,这样规定的除法法则和之前定义的乘法法则是不冲突的,这是数学中新定义需要满足的最基本的要求.

基于上述虚数除以实数的规律,我们还发现,按照教材所给的除法法则规定,复数的除法可以这样算: 先把(a+bi)除以(c+di)写成然后分母实数化, 得到

需要说明的是,这里c+di̸=0,即c,d不同时为0,这时(c+di)(c −di) =c2−d2i2=c2+d2̸= 0,进一步说明了这样算也是合理的.因此,在教学过程中,对于新定义的运算,除了要说明定义的合理性,还需进一步说明基于新定义可以衍生出哪些新结论,在论证过程中能够提供哪些便于操作的方式方法.这也是一个新知识能否得到广泛推广应用的重要因素之一.

1.3 探讨定义新形式,发现数学实质

部分老师认为教材中对复数的加法、减法、乘法、除法运算规定是为了让全体复数组成的数集成为数域,实质上这种想法是片面的.

一般地,设P是由一些复数所组成的集合,其中包括0或1.如果P中任意两个数(这两个数可以相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是P中的数,那么P就称为一个数域.显然,全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合都是数域.这两个数域我们分别用字母Q,R来代表.但全体整数所组成的集合就不是数域,因为不是任意两个整数的商都是整数.在数学中,如果数的集合P中任意两个数作某一运算的结果都仍在P中,我们就说数集P对这个运算是封闭的.因此,数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1 在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法(除数不为0)是封闭的,那么P就称为一个数域.

实际上,若对两复数的加法、减法、乘法、除法法则按如下规定: 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,

加法: (a+bi)+(c+di)=2(a+c)+2(b+d)i;

减法: (a+bi)−(c+di)=

乘法: (a+bi)(c+di)=2(ac −bd)+2(ad+bc)i;

除法: (a+bi)÷(c+di)=+

易验证,复数集对于上述新规定的加法、减法、乘法、除法法则也是封闭的(但不满足运算律),因此教材中的定义方式并不是使复数集成为数域的必要条件.既然是这样,那教材中的定义方式究竟有何好处呢?

一方面, 将复数集中定义的运算法则按照教材定义后, 不仅将实数集进行了扩充, 而且将虚数运算与实数运算进行了很好的融合.否则, 若按照新定义, 当两复数均退化为实数时, 按照复数集中定义的加法, 得到(a+0i)+(b+0i) = 2(a+b),与按照实数集中定义的加法得到的结果不一致,不利于后续对复数集的研究.从某种意义上说,这种推广虚有其表,仅是形式上的不同,至于这种新定义的意义在哪? 或者说按照这种新定义的复数运算有何其他的应用,还尚不清楚.

另一方面,按照教材中对于两个复数加法、减法、乘法、除法的法则规定,复数充分发挥了它的工具属性,能够和数学物理的相关理论产生充分的联系,爆发无穷的威力,各类经典教材都有详细论述,笔者在这里不再展开.

需要说明的是,上述对于数系扩充的问题探究难免挂一漏万,牵涉其中的细节也并非三言两语能够表达,笔者认为,对于充分影响数学进程的典型案例,教师应该有意识、有能力、有决心引领学生加以探讨,或许最终并不能彻底搞清楚各种缘由,但是这一过程确是体验数学乐趣的必由之路.

2 创设“有数学味道”的课堂的三个角度

2.1 选择的探究内容要立足数学基础

从某种程度来说,传统的教学方法更加倾向于教师掌控一切,他们并不鼓励学生在课堂中将习得的知识亦或是产生的疑问经过自己的加工思考表述出来,而这恰恰是教师了解学生数学基础的重要途径和手段.我们并不否认,教师只有对数学的内容知识间实质性的逻辑关联有了深入的研究之后,在课堂教学中才能抓住问题的核心,但这一切都应基于学生理解知识的层面之上.从某种意义上讲,数学知识与教学知识是并列的关系,而学生的数学基础是教学知识得以充分发挥的必要保证.只有保持师生之间的“同频段”沟通,具有思维交互性的数学课堂才得以真正建立.通俗的说,就是教师设计的“怎么教”应该是基于真正了解学生到底是“怎么学”的基础之上的,虽然每个学生都有自己独特的理解数学知识的角度和方式,但是并不意味着教师在备课过程中就要完全忽视学生的感受,一味的追求课堂教学的“高、精、深、顺”.数学教学必须以学生的认知基础为出发点,才能引导学生用数学的思维去思考问题,否则只能是“外行看热闹”,又或者甚至只是教师的个人表演.

2.2 设计的探究过程要体现数学深度

数学课堂要体现深度并不是让教师只去教授那些晦涩难懂的学科理论知识,大量历史实践表明,那些经典著作以外的真正原创的新结果的火花往往就诞生在某个具有启发性与挑战性的探究活动之中.很难想象一个缺乏对数学深层认知的教师能够设计出具有针对性、高质量的探究活动,更不消让他引导学生的数学思考.有深度的数学课堂不能缺少具备扎实“四基”的老师,否则在知识的发生、发展、形成过程中,会缺乏对教学重难点和本质属性的足够敏感性,并逐步丧失话语权.特别是在处理某些知识的关键节点处,不能试图完全放手让学生独立发现,恰恰需要教师在宏观把控的基础上设计出直面问题本质的具有数学思维性的探究活动,而这一切得以实施的前提是教师自己要先知道怎么思考,教师自己要先成为发现者.

2.3 提出的探究问题要聚焦数学本质

数学不是算术,它更是一种思想,一种解决思路.教师在教授复数的一系列运算性质及运算定律的过程中,一方面要很好的向学生阐述为何要将实数集扩充到复数集的原因,搞清楚研究虚数的动机;另一方面,不能照本宣科,简单的类比实数的结构,直接给出虚数的加法、减法、乘法、除法法则,反而在复数的运算技巧上大讲特讲.尽管学生能够熟练掌握这一套运算方法,但这就完全背离了本堂课的初衷.笔者认为一个很重要的原因就是教师在教学过程中,容易不自觉地将自己的意志强加在学生之上,直接类比,忽视必要的探究过程.从某种程度上说,这是错误的将解题教学代替了概念教学.既然是这样,我们又怎么能去苛求学生在独立做题的时候,怎么全然不去分辨两者的区别,直接套用老师课上的方式方法.因此,在探究过程中,教师要有意识的引导学生学会用数学的语言去清晰明确的描述问题,在立足事实的基础上学会用数学的思维去演绎思考,在做出判断之前具有论证要言之有据的意识.只有这样,课堂教学才更有可能触及问题的数学本质,所设计的一系列探究方法才能真正提升学生的思维品质.