数学分析思想在高中数学解题中的应用

汤吉龙

(江苏省泰兴市第二高级中学 225400)

由于高中数学知识点与难度大幅增加，再加上课程进度快，从而导致很多学生因为适应不了课堂进度和难以解题以至于六神无主、无从下手.高中数学知识较为复杂，许多知识点之间相互联系，有可能因为一部分没有学好而使得接下去的课程无法接受，致使很多学生学习效率低下，出现解题步骤没有逻辑等问题.所以在高中数学的学习中，教师应当注重学生对数学分析思想的培养及运用，这样才能提高课堂效率，达到教学有效输出的目的.

一、数学分析思想对高中数学解题的影响

从前学生习惯了套用“解题模板”来进行答题.而高中数学相对复杂，如果再像之前一样依靠类型题的解题步骤进行照葫芦画瓢是行不通的.唯有掌握好知识点，多做题，试图从做题的过程中发现解题思路，在下一次遇到此类题型时能够马上想到这个知识点，活学活用，通过学生的独立思考以及题海战术将所学知识铭记于心，培养学生的数学分析思想，这对于高中学生数学解题是很重要的.另外，教师在教学过程中注重对学生数学分析思想的培养与教育，可以使得学生在解题过程中养成良好的习惯，并且具有更加严谨的逻辑思维能力，对于学生在解题过程中提高效率具有非常关键的作用，同时教师在进行思想培养教育的过程中，其实也是对解题方法的一种优化.因此，数学分析思想对于高中数学解题而言，不仅可以提高学生的解题能力，还能够提高教师的教学效率及为创新教师的教学方式提供条件.

二、以“函数”为例介绍数学分析思想在高中数学解题中的应用

不等式的证明是高中数学中的一个重要内容，方法繁多，思路灵活，技巧性强.本质上来说用函数思想解决不等式问题，就是研究相对应函数的零点、正负区间、单调性的问题，所以，通过运用函数思想来解决这类问题，可以轻松找到解题方向，进而提高解题效率.例如：已知不等式x2+mx+3>4x+m恒成立，同时0≤m≤4，求x的取值范围.首先在解题之前通过对题目进行详细分析，我们发现可以将m作为自变量建立相应的函数，即y=(x-1)m+x2-4x+3，于是不等式也就转变成为y>0恒成立，加上题目给出的条件范围0≤m≤4，对于x的取值范围自然呼之欲出，再进行解答就变得非常容易.事实上，对于这一类的题目都可以通过先转换形式，然后根据题目条件进行分析解题的方式，在这个过程中，教师可以让学生体会到学习高中数学并非如他们想象的那么困难，只要注意掌握思想方法，所有类似的题目都可以迎刃而解.

三、通过数列公式对问题进行分析思考

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容.笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是:公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法.教师可以在课堂上仔细讲解一下递推关系式的特征，让学生在解题过程中能够辨析题目的特征并准确选择恰当的方法，进而能够更加迅速求出通项公式.

1.利用公式法求通项公式

公式法求解通项的前提条件就是学生能够从题目当中发现其中蕴含的知识点，然后根据这个知识点的具体特征来匹配相对应的公式，进而根据这个公式求解题目.比如我们来看这样一道例题：已知数列{An}满足An+1=2An+3·2n，A1=2，求数列{An}的通项公式.这道题应该算是初学数列的典型例题，也是高考中位于数列题的第一小题，相对简单，也很容易犯错，但是我们一旦掌握了相对应的思想方法，我们就很容易能够从中发现错误点，并且在解题过程中对其进行详细注意，那解题错误率无疑会减少很多.我们试着用数学分析思想进行解题应用，首先，我们要先确定这是求通项公式的哪一种方法，由题目可知，这道题要求我们用公式法求通项，确定了正确的方法以后，离成功解出这一道题目就只差一半儿了.接下来再继续分析，本题的关键是把递推关系式An+1=2An+3·2n转化为An+1/2(n+1)-An/2n=3/2，说明数列{An/2n}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出An/2n=1+(n-1)·3/2，进而求出数列{An}的通项公式.等把思路完全理清后，我们便可以根据我们的思考思路依次写出步骤，并求得答案.

这样一道题就解出来了.虽然这道题很简单，但是在学数列过程中，如果不将最基本的题目搞清楚，明白其中的来由及思维，很难循序渐进地攻克难题，甚至会打击学生学习其他章节知识的自信心.而掌握了基本题目解题思维方式之后，学生的数学分析能力会相应地增强，相信学生有足够的信心应对下面的题目，对于类似的题目更是游刃有余.

2.累加法求通项公式的分析

前面我们分析了数列的公式法，现在我们再来看一下累加法求通项公式的题目，这种方法也是需要学生在进行解题的前期就要先进行深入思考，能够规划出大体的解题步骤，然后再一步步地进行正式解题.下面我们来看例题：已知数列{An}满足An+1=An+2n+1，A1=1，求数列{An}的通项公式.第一步，我们还是一样先引导学生分析题目，考虑需要用到求通项公式的哪一种方法才能将此题完整无误地解答出来，或者是可以先尝试哪种方法比较妥当.我们可以看到题目“An+2n+1”是具有一定的规律性，如果我们将它进行累加，可以逐步得到答案，那么，我们可以确定这一题用累加法就可以求得例题的通项公式.第二步，我们要考察到本题的关键是把递推关系式An+1=An+2n+1转化为An+1-An=2n+1，进而将它们累加得出(An-An-1)+(An-1-An-2)+……+(A2-A1)+A1，即可得出数列{An}的通项公式.最后一步，再将题目中给出的信息进行代入所求得的式子当中，即可求出最终答案.

通过分析以上题目，我们可以知道，在做任何一道题的时候，做题思路往往比做题更重要，因为题目是永远做不完的，但是方法是万变不离其宗，很多道题目都可能是考察同一个知识点的不同应用，数学分析思想在高中数学解题就显得极其重要了，一个正确的思考方向可以让解题进入正确的轨道，而如果拿到题目没有预先思考，而是马上动笔的话，很容易出现连环错误，高中数学注重考察学生的思考能力和严谨能力，做题不能想当然也不能套用做题模板.具体来讲，首先要确定这题考察学生什么知识，然后再分析这题应该运用哪种方法进行解题，确认完这些之后，学生方可进行答题.总之，数学分析思想的重要性不言而喻，它可以有助于学生的数学思维能力以及数学涵养的培养，对高中生而言，这是学习数学的必备思想之一.

在学习数学的过程中，教师需要培养学生严谨的解题思路及方法，要引导学生学会自己思考，也要让学生懂得数学分析思维在高中数学解题的重要性，从入门时便培养学生的数学分析思维，能够大大减少错误及盲目做题的方式.培养谨慎、细心的做题习惯，我相信题目再难再复杂，学生都能很好地攻克.