一道高考含参恒成立问题求解的几个角度*

新疆乌鲁木齐市实验学校 (830026) 符强如

纵观近几年的高考压轴题，命题人比较热衷偏爱于对导数知识的考查，其中求参数的取值范围问题是重点考查的题型.其求解往往从分离变量法、直接讨论法及图像法三个角度去实施以2020年全国Ⅰ卷理数21题具体阐述笔者的思考.

1 问题呈现及背景

背景：这道题第(2)问从问题表述来看，传承了全国卷高考命题朴实、简约、稳健的风格.从函数的角度考察导数与含参不等式恒成立的综合应用，而现阶段以指数函数与三次函数为载体的导数与含参恒成立求解参数范围问题，在高考压轴题中频繁出现，它不仅考查了考生的逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养，并对考生的思维能力要求较高，真正起到了压轴的功能.

2 含参恒成立求解的多个视角

角度1 参变分离.若所求参数比较好分离时，学生普遍惯用分离变量法求解，这也是平时教学中讲解思路及方向最多的.

角度3 图像结合.从图像方向寻找突破点，找到两个函数相切这一临界位置，可以大大简化运算.

评注：不同的表征形式的求解着眼点就有不同，角度3需要敏锐的眼光，但有时具有一定的局限性.角度2通过变形后能较好找到分离讨论的标准，一定要利用好端点.角度1较容易想到，但是需要较强的运算能力.

3 解题反思

数学知识体系中的各个知识点并不是孤立存在的，在各个知识之间存在一定的关联，正因为数学知识之间的关联，使我们可以从多个不同的角度来思考问题的解决策略，同时也最大程度地证明了数学思维的发散性.正如本题可以发现，含有参数恒成立问题可从以上几个角度去求解，其求解思路切入各有其特征、使用的范围和求解步骤.因求解的思路与着眼点也各不相同，所以表现出得解题过程难易程度就亦深亦浅.如，分离变量这一思路最易想到，也好操作，但是最后几步需要较强的运算能力.又有时候这一思路有时需要多次求导，多次转化.这样经过多角度探究学生就能够建立起相关知识体系，能够以“一览众山”小的姿态来看待数学问题.作为教师唯有如此为学生的知识延伸和深度做指导，我们的复习才能真正优质高效，学生认知结构才能更加稳定，数学核心素养的培育才能更深入落实.