几道隔板法求不定方程正整数解的个数问题

福建省连江第一中学 (350500) 黄锦涛湖北师范大学数学与统计学院 (435002) 谢 涛

近日，笔者听了一次组合的新授课，排列组合是高中学习阶段的一个重要知识点，隔板法是处理排列组合问题的一个重要方法，在课上教师介绍了隔板法，并且出示了一道例题，如下.

例1 求不定方程x+y+z=10的正整数解的个数.

刚出示这道题的时候，学生感到很疑惑：这与所学的组合到底有什么关系？这时教师给出引导：对于这个不定方程，可以换个角度看待，把其转化为已经学过的组合问题.具体如下：

接着教师给出两个变式：

变式1 求不定方程x+y+z=10的自然数解的个数.

分析：变式1与例题十分相似，不同之处就是例题求的是正整数解的个数而变式1求的是自然数解的个数，既然是变式二者必然存在着某种联系，如何把新的问题转化为我们熟悉的问题即如何把求自然数解的个数转化为求正整数解的个数是我们所要思考的.

例2 (1)10个相同的球分给7个人，每人至少1个球，有多少种分法？

(2)10个相同的球分给7个人，有多少种分法？

例1、变式1、变式2不仅开阔了学生的视野，而且对学生“转化”思想的培养起到了很大的帮助，例2激发了学生利用隔板法处理实际生活问题的能力，数学题目是千变万化的，要学会把新问题转化为熟悉的旧问题去解决才能事半功倍.教师不仅要教会学生知识点，还要培养学生的数学思维，做到授之以渔.