基于SOLO分类理论，探析高三数学概念复习的学习进阶路径*

刘绿芹 (江苏省盐城市教师发展学院 224000)

高三数学的教学过程中，往往忽视概念复习，以致部分学生对概念的理解还停留于高一高二时的状态． 高考试卷中的大部分问题都需要学生对概念的理解达到一定的层次，不同难度的问题需要不同的概念理解水平，这就需要学生通过复习，将概念的理解水平提升到更高层次． 本文将基于SOLO分类理论，结合学习进阶理念，以函数为例，构建高三数学概念复习的学习进阶路径，并提出教学建议．

1 核心概念的概述

1.1 SOLO分类理论

SOLO分类理论是比格斯在皮亚杰认知发展阶段论的基础上提出的一种学生学业评价方法． “SOLO”是英文“Strucre of the Observed Learning Outcome”的缩写，其意为可观察的学习结果的结构． 该理论是一种以等级描述为特征的质性评价方法．[1]比格斯认为，任何学习结果的数量和质量都是从具体到抽象，从单维到多维，从无序到有序． 他把学生对某个问题的学习结果和思维水平由低到高划分为5个层次：前结构水平、单一结构水平、多元结构水平、关联结构水平、扩展抽象水平．

1.2 学习进阶理念

美国国家研究委员会(National Research Council，NRC)2005年的报告《国家科学评价体系》，鲜明地提出了学习进阶理念，其认为学习进阶是“促进课程标准、课堂教学与考试评价三者一致性的有效工具[2]”，包含五个要素：进阶终点、进阶变量、进阶层级、学习表现、评价．

学习进阶理念认为，学习是一个逐渐累积、不断演进的过程，学生对某一内容主题的理解存在多个不同的中间水平[3]． 规划合理的学习进阶过程可作为课程的框架，为课程目标的达成提供进阶导航图，同时，通过及时合理的测量跟踪学生的进阶情况[4]．

1.3 相互关系

实现概念的学习进阶，需要解决的主要问题是如何划分和评价学生的理解水平，即如何测量学生是否达到了进阶水平． SOLO分类理论是一种方法论，正好能够解决该问题，它能够划分概念学习的阶段，明晰进阶路径和发展目标，相互关系如图1． 在学习进阶的过程中，SOLO分类理论能够较为客观地将学生的理解划分为五个层次水平，跟踪学生的进阶情况，为学生学习进阶提供“台阶”．

图1 基于SOLO分类理论的学习进阶路径示意图

2 高三概念复习的学习进阶路径——以函数复习为例

函数是数学核心概念中最重要的概念之一，是最基本的数学语言和工具，函数贯穿高中数学课程的始终． 《普通高中数学课程标准(2017版)》将函数的概念列为必修内容，由此可见其重要程度． 从教学实践来看，(学生普遍反映)函数知识的跳跃性较大，衔接起来较为困难，每一次的“升级”都会使学生有脱节的感觉． 基于此，在高三函数概念复习的阶段，应着重进阶学习，将函数相关知识关联起来，形成网格化的整体．

高三数学概念的复习不是简单的知识重复，而是从核心概念逐步拓展与延伸，不断进阶，最终达到课程标准、高考说明中所提的要求． 实现学习进阶的基本路径为：跳出前结构水平——重视单一结构水平——延伸多元结构水平——提升关联水平——达到扩展抽象水平． 下面以函数概念的复习为例，探析学习进阶的具体路径(表1)．

表1 高三函数概念复习的学习进阶

2.1 跳出前结构水平

前结构水平的特征表现为：对相关问题没有认知． 跳出该认知水平是开展高三数学复习的前提． 在高三的教学实践中，我们会发现部分学生对高中阶段的函数概念几乎一无所知，依然停留在初中阶段的“变量说”，即如果一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称y为x的函数． 尽管这部分学生对函数有了一定的认知，如若在高一年级阶段，可以将其认知水平归类为单一结构水平，但鉴于高三概念的复习，则应将该认知水平归类为前结构水平．

2.2 重视单一结构水平

单一结构水平的特征表现为：只有单一的解决问题思路． 单一结构水平是开展高三数学复习的基础，是学习进阶的起点． 在初学函数概念时，一般是在“变量说”的基础上，引出“对应关系说”． 即，一般地，设A,B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做A到B的一个函数． 在高三概念的复习中，要能够在变量说的基础上，深刻理解初、高中阶段函数概念的区别，认识到“高中阶段是用集合语言和对应关系来刻画函数”，达到此类认知水平可归类为单一结构水平．

2.3 延伸多元结构水平

多元结构水平的特征表现为：拥有多个解决问题的思路，但不能融合这些思路. 多元结构水平的延伸有助于连点成线、成网． 在高三概念的复习过程中，要深刻分析概念的内涵和外延． 例如，在函数概念中，内涵内容主要包括定义域、值域及表示方法(图像法、列表法和解析法)等内容． 在此基础上外延出去，展开函数的基本性质复习，包括函数单调性、最值、奇偶性、周期性等等． 基本掌握这些内容后可以将该认知水平归类为多元结构水平．

2.4 提升关联结构水平

关联结构水平的特征表现为：能够将多种解决问题的思路结合起来进行综合考虑． 关联结构水平的目的是连点成线，结成网，该水平的提升能够促进综合问题的解决． 在复习了函数的概念和性质后，概念的复习应进入关联阶段，即研究基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)就有了方向，即从定义域、值域、解析式、图像、单调性、奇偶性、周期性等角度开展基本初等函数的关联研究，同时，还能进行基本初等函数的简单复合尝试与研究． 此类认知水平可归类为关联结构水平． 提升关联结构水平能够切实提高高三数学复习效率和学业成绩．

2.5 达到扩展抽象水平

扩展抽象水平的特征表现为：能够对相关问题进行抽象、拓展，并能够站在理论高度进行问题的分析与解决． 扩展抽象水平是学习进阶的终点，对学生的抽象思维能力要求较高． 在高三函数复习的过程中，要跳出单一模块化思维． 高中阶段显著涉及函数的内容还有数列、导数，这两项内容被《普通高中数学课程标准(2017年版)》列为“选择性必修”(注：必修和选择性必修均为高考内容)． 数列作为一种特殊的函数，是高考中的核心知识点之一，其中等差数列、等比数列的考查要求为C等次(最高要求等次)，在解决数列问题时，函数理念一直伴随其中． 另外，导数也是研究函数的重要工具，它能够定量地刻画函数的局部变化，蕴含着微积分的思想，为学生将来开展高等数学的学习打下基础．

3 建议与思考

3.1 对高三数学概念复习的教学建议

第一，要注重概念的发展研究． 数学概念的形成需要经历一个发展过程，在不同的阶段有着不同的理解要求和表达方式． 在概念的发展初期，表达形式可能较为浅显、直观；在中期，表达形式可能被进一步抽象、概括；在后期，表达形式可能最为完美、完善；在未来，表达形式还有可能进一步得到发展． 因此，在高三阶段数学概念的复习教学过程中，特别需要强调概念的发展观，要着重复习概念的来龙去脉，理清概念发展脉络，特别是要让学生理解“初期概念的局限性在哪”，“现在概念的优越性在哪”，“未来概念还可以向哪个方向发展”等等． 概念的初期及现在是高三复习的核心，未来概念的发展可以给学生做适当的引导，为学有余力的学生提供空间． 同时，在复习的过程中，应有意识地穿插思辨型习题，使学生加深对概念的理解．

第二，要注重概念的内涵挖掘． 每一个数学概念都有着丰富的内涵，有的是显性的，有的是隐性的． 挖掘概念内涵是加深概念理解的必要手段，挖掘方法一般有两种，一是充分性挖掘． 这是将概念中的充分性条件逐一找出，并对这些条件的各种变形进行总结和归纳，以便在高考中能够认清问题的本质；二是必要性挖掘． 这是将概念的特点、性质及其逻辑方式等等变成自己解决问题的工具，并力争做到举一反三，触类旁通．

第三，注重概念的外延拓展． 数学中的每一个概念都不是单独存在的，它一定与某些数学概念相关联． 概念的外延有两种情形，一是在某些特定条件下，一些数学概念可以有多种解释，比如数列在特定环境下就是函数，一些特定函数在某些情境下也可以看成数列． 二是看似不相关的概念在某种问题中可以互相融合，例如在立体几何问题中存在三角函数关系． 现如今的高考数学试卷中已少有单独考查某一个知识点的问题，大多数高考题往往是将多个知识点相关联的综合题． 因此，在概念复习过程中，我们要对数学概念进行适当的外延和拓展，试着将多种不同概念相互拓展延伸，提升解决数学问题的综合能力．

3.2 对学习进阶路径的思考

基于SOLO分类理论的学习进阶路径设计是否合理，重点在于两项内容．

第一，评价指标的设置是否合理． 学习进阶的建立依赖于评价，因此，学习进阶与评价之间有着天然的联系[5]． 尽管SOLO分类理论已经将学生认知水平划分为五个层次，但具体到某个概念、某个知识的理解水平划分还需要教师对相关知识有较为深刻的认识． 同时，要求对数学课程标准、高考考试说明有较深的理解． 比如，复数知识在高考考试说明中属于A级的内容，那么若将其定为扩展抽象水平则显然不合适． 同时，设计评价指标还要结合学生的层次水平． 例如，在某些基础较好的学生群体中，可以忽略前结构水平和单一结构水平的设计，着重设计后三个层次水平．

第二，进阶策略是否符合学生认知． 不同层级水平的学生应该采用不同的进阶策略，一般情况下不建议越级进阶，循序渐进逐级提升是学习进阶的重要原则． 在平时的教学过程中，“夹生饭”“吃不饱”现象就是因为教师的教学策略不符合学生认知水平，妄图用一种教学策略解决所有层次学生的问题． 对基础薄弱的学生，要着重跳出前结构水平，往单一结构水平上发展；对中等水平的学生，要注重延伸多元结构水平、提升关联结构水平，达到高考要求；对顶尖水平的学生则要鼓励其达到扩展抽象水平，使其在数学上得到更高的发展，实现“不同的人在数学上得到不同的发展[6]”这一目标．