核心素养视角下“一元二次不等式”的教学思考与设计

邹信武 (广西南宁市第三中学 530021)

1 问题的提出

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准》)指出，数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的． 在旧教材中，“一元二次不等式”安排在必修五第三章“不等式”里，而在《标准》中，该内容属于高中预备知识，在2019年人教版《普通高中教科书数学必修第一册》(以下简称《必修第一册》)中安排在“集合”“简易逻辑”“不等式性质和基本不等式”之后． 随着编排位置的改变，该教学内容所承载的涵义有何不同？它是如何反映数学核心素养？教师又该如何在教学中发展学生数学核心素养？这都是我们亟待解决的问题．

2 《标准》中的“一元二次不等式”

2.1 承上启下，初高中知识、方法和情感的过渡

在《标准》中，该节内容标题是“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”． 学生在初中经历了从一次函数角度看一元一次方程和一元一次不等式(以下简称“三个一次”)的学习过程，形成了对函数、方程与不等式的初步认识． 因此，“一元二次不等式”是初中一次不等式相关知识的延续和类比迁移，对该部分内容的学习，利于激发学生对数学学科的兴趣与信心，完成在知识、方法和情感上的初高中过渡． 另外，解一元二次不等式是高中重要的代数运算之一，它为后续知识的展开与深入提供了运算基础．

2.2 培养数学核心素养的优良载体

(1)有利于提升学生的数学抽象和直观想象两大核心素养.数学抽象是一个对象在另一个对象属性基础上的抽象过程，只有知识之间的联系才能体现抽象过程． 直观想象主要包括几何直观与空间想象两个方面． 直观想象是认识抽象对象的另一条途径，它是符号化语言的直观解释． 《标准》把“一元二次不等式”作为高中预备知识，一方面是因为其应用的广泛性，另一方面是因其可以体现函数、方程与不等式之间的联系． 在本课时中，通过用二次函数的观点看待一元二次方程和一元二次不等式(以下简称“三个二次”)，使学生不断地在自然语言、符号语言与图象间进行转换，使学生认知中“函数、方程与不等式”的关系得以再次巩固和深化，进而掌握用函数理解方程和不等式这一数学基本思想方法． 因此，本课的主旨是使学生理解和建立起“函数、方程与不等式”之间几何与代数的联系，并在此过程中发展学生的数学抽象与直观想象两大核心素养．

如图1，通过“三个一次”关系的回顾和对“三个二次”之间关系的探讨，达成函数、方程与不等式分别在语言、符号和图象的联系意义建构．

图1 函数、方程与不等式的关系

(2)有利于提升学生的逻辑推理和数学运算两大核心素养. 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程． 解一元二次不等式，实质是一种“程序化”运算，是一个特殊的演绎推理过程，本节内容对发展学生的逻辑推理和数学运算素养有着重要作用． 根据以往的教学经验，学生在解决含参数一元二次不等式的过程中，常常不会对参数进行讨论，究其原因，是不理解一元二次不等式解答的“程序”，不清楚“程序”中分步的依据． 为此，教师在开展“一元二次不等式”的教学时，应强调解决过程中的“程序化”，培养学生的逻辑思维，形成严谨思考问题的习惯． 因此，本节课的另一个重点和难点是如何通过解一元二次不等式，帮助学生构建解决一元二次不等式的“程序”．

以ax2+bx+c>0(a≠0)为例，如图2，通过探寻一元二次不等式的解法、例题的讲解和练习，引导学生理解运算对象和运算顺序，并以流程图的形式呈现，理解几个分支节点(二次项系数、判别式及根的大小)分支的原因，以及由此产生必要的分类思想．

图2 解一元二次不等式流程图

3 教学实施设想

基于前面对本节内容的分析与理解，本节课应考虑两条线索：知识发展线索和学生思维活动线索． 以知识的发展脉络为线索，如图3，可以分成两个阶段：第一阶段，是函数、方程和不等式内在关系回顾及深化阶段，即从“三个一次”向“三个二次”的类比迁移，并以此为基础初步形成解决一元二次不等式的“程序”，这是本节课的重点． 第二阶段，“程序”应用及完善阶段，即在具体应用中深化对“程序”的理解，并不断完善它． 以学生思维活动为线索，学生在第一阶段经历了大量的数学思维活动(归纳推理、类比推理和演绎推理)，通过分析、比较、综合、归纳、抽象、判断和推理等一系列思维行为逐渐认识和理解函数、方程和不等式的本质和内部联系，并在第二个阶段中以演绎的方式加以应用．

图3 教学实施框图

4 教学流程设计

4.1 复习与引入

问题1在初中，我们学习了一次函数和解一元一次不等式，请大家完成下面两个问题：(1)在直角坐标系中画出f(x)=4x+3的图象；(2)写出4x+3>0的解集．

评析本课的目标之一是使学生建立起函数、方程和不等式之间的关系，而这个关系的获得，不能通过教师讲授，而应该是学生内省构建的过程． 学生在解一次不等式时，不一定与一次函数联系起来，更多时候会使用不等式性质得到结果． 因此，教学中不宜直接给出一元一次方程，而是在描点法绘制图象和解一元一次不等式的过程中，使学生非常自然地发现：一元一次不等式解集的端点恰是一次函数与x轴交点的横坐标，同时，“4x+3>0”中的“>”与一次函数在x轴上方的图象有关系，进而产生一元一次不等式与对应一次方程和一次函数关系的联想．

追问根据刚才的发现，你能给出一次不等式ax+b>0和ax+b<0的几何解释吗？

学生回答后，教师与学生共同完成表1并指出：一次方程的根是对应函数与x轴交点横坐标，不等式ax+b>0(<0)的解集是对应函数图象在x轴上方部分(下方部分)所对应的x的取值范围．

表1 一次函数、一次方程与一元一次不等式的关系

评析这一环节进一步固化学生认知中“三个一次”的关系，形成清晰而稳定的联系，为下面解一元二次不等式提供类比对象和逻辑基础．

4.2 类比与迁移

问题2学校计划在绿地上用栏杆围成一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？

评析通过设置与生活密切相关的实际问题，引出本课主题——“一元二次不等式”，使学生感受一元二次不等式不是无源之水，它既是数学知识发展的需要，也有解决现实世界客观问题的需求，进而激发进一步解决问题的兴趣．

追问观察不等式x2-12x+20<0，请通过以前解决不等式问题的经验，思考如何求出它的解集？

评析这是从“三个一次”到“三个二次”的类比迁移过程． 通过“三个一次”的铺垫，学生完成这个问题并不困难． 通过观察特征、比较联想，分析共性特征，概括共性特征，最后得到解决问题的途径． 在这个环节，应该引导学生解决以下问题：第一，解决这个一元二次不等式的步骤是什么？为什么先求方程的根？(同时给出函数零点的概念，明确它与函数图象、方程的联系)；第二，画出图象的目的是什么？第三，写出解集的依据是什么？通过对解决过程中关键步骤的分析，使学生加深数与形的联系，明晰它们之间的关系，并厘清解决问题的“算法”思路，感受用函数解决不等式问题的思维方法．

4.3 归纳与巩固

问题3(1)根据刚才解决x2-12x+20<0的方法，我们也可以解决其他一元二次不等式． 请思考：对于一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0(a>0)，其解决步骤是什么？

(2)请根据你的设想，分析二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的关系，并把它表示出来．

表2 二次函数、二次方程与一元二次不等式的关系

评析引导学生设计步骤是让学生在理解运算的基础上，再次强化运算程序，在认识上形成明晰的解题顺序关系． 另外，表2在《必修第一册》已给出，因此表格的形成过程的意义要大于表格结果本身，这是学生在认知中完善“函数、方程与不等式”(图1)三者联系的关键活动． 教学中，应关注与帮助学生厘清以下几个问题：第一，为什么要制表？第二，如果需要制表，那么表格分列、分栏的依据是什么？第三，表格从上至下的顺序是怎样的？为什么是这样？第四，函数的图象、方程的根与不等式解集之间的联系是什么？

4.4 应用与强化

例1求出下列不等式的解集：

(1)x2+5x+6>0；(2)9x2-6x+1>0；(3)-x2+2x-3>0．

评析这三个不等式的作用是强化“解法程序”，包含了判别式的三种不同情形． 其中第(3)题补充了二次项系数为负值时的情况，可以先将二次项系数转化为正数，再计算，这也体现了化归的数学思想方法．

练习当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？

(1)y=3x2-6x+2；(2)y=x2+6x+10；(3)y=-3x2+12x-12．

评析函数与不等式之间是相互对应关系，通过练习强化这两者的转换． 学生经历了使用几何图象解决代数问题，再从代数逆向解决几何问题，会更深刻地体会它们之间的联系，从中感悟数形结合的思想，提升数学抽象与直观想象素养．

4.5 变式与提升

例2求出下列不等式的解集：

(1)x2+ax-2>0；(2)x2-(a+1)x+a>0．

评析通过解决含参数的一元二次不等式，使学生认识判断判别式符号的重要性，以及在有根的前提下根的大小对结果的影响，进而加深学生对“运算程序”的关键步骤的认识，完善学生认知中的“运算程序”． 如在第(2)题中，通过Δ得到方程必有解，求出它的根分别是：x1=a和x2=1.在尝试画图象时，就发现根的大小会影响不等式的结果，进而需要进行分类讨论，从而在学生原有的认知“运算程序”中再加入一个判断选项，得到更完善的解决“运算程序”(图2)．

4.6 总结与升华

问题4本节课我们研究了什么问题？又怎样解决了这些问题？在其中，同学们有什么发现？

评析通过小结，回顾整个学习过程，从“三个一次”关系到“三个二次”关系的类比迁移，升华至 “函数、方程与不等式”之间的关系，进而理解用函数研究方程和不等式的数学基本思想方法． 同时归纳解一元二次不等式的一般“运算程序”(图2)，使之在学生认知中获得再次认同．

5 教学设计反思

素养是诸多方面的综合，它的形成过程是学生在学习活动中尝试、摸索、积淀和感悟，是自身认知与元认知构建的过程． 因此，在核心素养的理念下，教学设计应关注以下几个方面．

5.1 把握数学核心素养的生长点，促使数学核心素养落地

素养是人的内在品质，发展学生数学核心素养是中学教学实践中较高的要求与目标，而实现它需要更具操作性的过程性、具体性目标，即指向更实际且能触及数学核心素养的教学活动． “四基”(基础知识、基本技能、基本方法和基本活动经验)“四能”(发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力)是数学核心素养的生长点． 《标准》指出：“四基”是培养学生数学学科核心素养的沃土． 而“四能”是基于“问题解决”产生的数学性思考，是学生形成理性思维、提升数学核心素养的途径． 在教学实践中，以数学知识为载体，围绕着课堂中如何落实“四基”和提升“四能”，是触及学生数学核心素养的关键，也只有在课堂上达成了“四基”和“四能”的要求，才能使数学核心素养“落地”．

5.2 把握数学核心素养的发展点，促使数学核心素养生长

核心素养的形成具有阶段性和延续性． 在核心素养视角下，学生通过之前各学段的学习，已经具备一定的数学核心素养，因而高中阶段数学核心素养的培养是前面学段的延续，是依据高中生的心理特点，进一步地完善和发展数学核心素养． 教学中，除了需要厘清本课知识本质、上下位关系、蕴含的数学思想之外，还应该把握学生数学学科核心素养发展的各阶段目标及其关系，分析本节内容承载的主要数学核心素养，通过设计恰当的问题情境，设置有价值的问题，促进学生在此过程中数学性地思考、表达和交流，进而提升数学核心素养．

5.3 把握课堂学生思维活动，维护数学核心素养阵地

核心素养的提出，真正使教学的关注点从学科转向了人的内在． 数学是思维的体操，在数学课堂上，学生是否进行有价值的数学性思考，是衡量教师的教学活动是否有利于发展学生数学核心素养的重要指标． 因此，数学教师的教学设计中，除了把数学知识的发展作为线索之外，还应该增加一条学生思维活动的线索． 教学中，应根据学生思维的发展规律，恰当地设计教学活动，注重教学活动中学生的思维过程，衡量活动中学生的思维深度和广度，促进教学中学生理性思维的生成与发展． 这样的教学活动，往往发生在知识点的理解和运用、知识点间的联结和应用上面，教师应尽可能给予足够的时间，让学生独立思考、质疑、交流和反思．