初中数学最值问题的归类及求解

杨华

【摘要】  最值问题是初中数学的热门问题，是中考的热点.授课中为使学生掌握最值问题的求解思路，教师应结合授课经验做好最值问题的归类，围绕不同题型讲解最值问题的求解过程，给学生留下深刻印象，使其在以后解答类似习题时能够少走弯路，迅速解题.

【关键词】  初中数学;最值问题;归类;求解

初中数学最值问题涉及的情境灵活多变，考查的知识点灵活多样，其中绝对值、图形、方程、函数等知识常与最值问题相结合，其相关习题的技巧性较强，难度较大.为使学生掌握相关的解题技巧，增强学生的解题自信，教师应做好最值问题的归类以及典型例题的讲解.本篇文章主要概括五类初中数学中常见的最值问题，即绝对值中的最值问题、图形中的最值问题、方程中的最值问题、函数中的最值问题和轴对称中的最值问题，并通过相应的例题帮助学生理解和掌握解答对应问题的技巧和思路.

一、绝对值中的最值问题

学生对绝对值中的最值问题并不陌生.解答绝对值中最值问题的常规思路为：运用绝对值的几何意义以及数形结合思想进行分析.由此可见，对绝对值几何意义的深入理解以及对数形结合思想的灵活应用是解答该类问题的关键.为使学生更好地突破该类问题，教师应注重在授课中运用多媒体技术，为学生直观展示绝对值的几何意义，使学生掌握点的位置与绝对值最小值、最大值的关系.同时，为帮助学生进一步理清解题思路，教师应注重通过例题的讲解使学生更好地把握解题细节，积累相关的解题经验.如在解答绝对值之和的最小值时，如涉及两个已知点，一般未知数的取值位于两点之间的绝对值之和最小;当涉及三个已知点时，一般未知数的取值位于中间已知点的位置时，绝对值之和最小.如果已知点的大小关系未知，还应结合已知条件先进行判断.如下题所示：

二、图形中的最值问题

初中数学图形中的最值问题从整体上可分为两类：一类是运用相关的模型，如“将军饮马”模型;一类运用几何图形的相关性质，对要求解的问题灵活转化，化陌生为熟悉.为使学生掌握图形中最值问题的解题思路：一方面，为使学生更好地运用相关的模型解答图形中的最值问题，教师应注重和学生一起推导相关模型的结论，使学生不仅准确地记忆结论，更要弄明白结论的推导过程，真正理解相关模型的本质，并能够根据创设的具体情境，合理添加辅助线，迅速求解.另一方面，为使学生灵活应用图形性质解答最值问题，教师在授课中应与学生一起做好常见图形性质的总结.初中阶段涉及的图形主要有平行四边形、矩形、菱形等，解答这类问题不仅需要学生能够熟悉上述各个基本模型的性质和特点，还要求学生能够运用思维导图将常见图形的性质串联起来，搞清楚图形性质之间的区别与联系，在頭脑中形成系统的知识网络，尤其应注重为学生精讲典型例题，使学生感受解题的过程，从而在以后的学习中能够运用图形性质灵活转化要求解的问题，实现顺利求解的目的.

三、方程中的最值问题

方程是初中数学相当重要的一部分知识，部分习题会以方程为背景，求解某一表达式的最值.解答该类问题时应充分挖掘题目中隐含的条件，而后通过对要求解的表达式整理并加以突破.课堂上为使学生掌握相关的解题技巧，一方面，教师应为学生认真讲解方程根的判断知识（例如根的判别式）以及各种求解方程根的方法，主要有配方法、分解因式法、求根公式法.一部分习题并不需要学生求解方程具体的根，而是灵活运用韦达定理求解相关参数之间的关系.在讲解该部分知识时，教师应要求学生牢固记忆韦达定理的内容，并基于韦达定理设计相关的问题，要求学生自己推导，在其头脑中留下深刻的印象.另一方面，教师应为学生灌输求解表达式最值的常规思路，一般情况下可通过对表达式的整理、化简转化为求解函数的问题.为保证学生解题的正确性，教师应通过例题的讲解使学生认识到，运用函数求解最值时需要首先确定自变量的范围.

四、函数中的最值问题

初中数学函数中的最值问题涉及的类型较多，不仅有给出自变量范围运用函数性质求解函数最值的问题，还有利用函数的图像、图形相结合的最值问题.相关习题的难度存在较大差别，其中与函数图像、图形相结合的最值问题综合性较强，考查的知识点较多，难度也相应较大.为使学生掌握函数中的最值问题的解题思路，教师应注重结合具体例题进行讲解，使学生掌握相关的解题技巧，要求学生关注题干中的平行、垂直等关系，其中看到平行应注重联系直线平行时相关角度的关系、中位线及三角形相似等知识;看到垂直应能迅速想到直角三角形、勾股定理、圆中直径所对的圆周角等知识点;涉及函数坐标时应敢于大胆设出参数等.当然，为使学生将学习到的知识转化成解题的能力，教师在授课中还应注重组织学生开展专题训练活动，提高学生的理解和熟练度，并要求学生做好训练的总结、反思、交流，尤其要通过充分的交流学习他人之长，及时弥补自身的短板与漏洞.可围绕如下习题开展训练活动.

五、轴对称中的最值问题

初中数学中有关轴对称的最值问题也是基本的最值问题模型之一，主要是让学生求解两条不平行的线段、甚至相交的线段之间的有关距离的最小值.这类型问题的难度不大，但技巧性非常强，解题的关键在于正确运用两点之间线段最短这个知识点，需要学生想办法将所求问题转化在一条线段上即可.为使学生掌握轴对称中最值问题的解题思路，教师需要指导学生抓住转化的关键，利用轴对称的性质确定两线段之间的某一定直线，利用该定直线找两线段中任意一条线段的对称线段，通过将两线段平移等转化到一条线段中，则能顺利求解.解题时学生需要根据实际问题的不同特点，通过合理的转化减少变量，继而使问题得解.在课堂讲授该问题时，教师应关注学生的思维变化，使其正确利用转化的特点灵活解题.学生在平常也应多加练习，培养对题目的敏感性，看到求两条不在同一直线上的线段的长度就想到利用轴对称的性质转化求解.现以下题为例进行讲解：

六、总结

最值问题是初中数学的重点、热门问题，无论是平时的测试还是中考都能看到最值问题的身影，是初中数学试题的“常客”，并且所占的分值也较多.学生要想得高分，最值问题就是必须突破的一道坎.教师在授课的过程中要让学生牢固掌握不同最值问题的求解思路，促进其解题能力的进一步提升，既要做好理论知识的教授，又要做好相关例题的讲解，使学生把握不同最值问题的特点以及适用解法、解题的注意事项等，还要通过一定题目的练习，增强学生对相关解题方法和技巧等的熟悉程度，提高灵活运用能力，从而能够在解题中做到以不变应万变.

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