从“测”到“策” 由“法”及“理”

葛敏辉

【摘   要】通过有关“小数除以整数”知识的学前测查，分析与解读学生在计算时的表现及理解状态，构建算理理解的五个水平层次，并提出教学建议：重视学生经验的激活和比较，加强方法间的关联和优化，注重基本方法的归纳与数学原理的感悟。这些做法能够为设计和教学“小数除以整数”提供依据与思路。

【关键词】前测;算理;理解;建议

一切教学活动的起点与终点都是学生。了解学生的现状是教师进行有效教学的关键所在。围绕“小数除以整数”设计调查问卷，随机抽取了某校两个班学生（88位）进行问卷调查，并基于调查对学生学习情况进行分析。

一、对学生独立计算“11.5÷5”的情况分析

为了解学生能否在学习小数除法前，根据原有的知识经验，独立解决简单的小数除法计算问题（如果能解决，是采用什么方法解决的;如果不能解决，他们遇到的主要困难是什么），对学生进行了“结合情境解决计算问题”的测试。测试题目如图1。

测试后对学生的解答情况进行整理、统计，得到结果如下。

1.学生基本都能根据情境正确列出算式并得到正确答案。测试中，所有学生都能够正确列出算式“11.5÷5”。88个学生中，能正确计算出答案的学生有86人，约占总人数的97.7%。可见，学生在正式学习小数除法的计算方法前，已经有相当充足的认知基础。

2.学生解决“11.5÷5”的方法较为丰富。针对绝大部分学生都能得出正确答案的现状，继续对学生计算“11.5÷5”时能想到的方法进行统计，发现只能用1种方法计算出答案的学生仅占被试人数的12.5%，能用2种方法计算的学生有52.3%，用3种方法计算的学生有27.3%。还有5名学生能够用4种或5种方法得到答案。学生用到的具体方法及采用不同方法的人数占比见表1。

从以上统計整理中可见，学生独立计算“小数除以整数”，已经能呈现出多样化的方法。但同时可以看出，情境对学生的计算起到了重要的支撑作用，列竖式解决问题时很多学生对于余数的处理问题存在困惑。

这提示教师可以基于学生的多样算法展开教学，但需要借助情境帮助学生理解算理，强化“分的过程”和对“余数处理”的思辨与归纳，促进学生对算理的深入理解。

二、对学生列竖式计算“小数除以整数”的情况分析

为了解学生能否在学习小数除法前独立列竖式计算，在进行不同类型算式的列竖式计算时会有什么差异，在列竖式计算时会出现什么疑难点等问题，对学生进行了“列竖式计算”的测试。测试题目如图2。

测试后对学生的解答情况进行整理、统计，得到的结果如下。

1.绝大多数学生都能通过列竖式得到正确答案。以上4道题目，75%以上的学生能够通过列竖式得到全部正确答案（列竖式的方法不一定完全正确）。虽然第③题（要除3次）、第④题（除数是两位数）列竖式时相对要经历较复杂的过程，但这两道题的单题正确率也都在80%以上。可见，学生列竖式计算小数除法已有较好的学习基础。

2.学生对“除到小数部分时要不要保留小数点”存在疑虑。在测试中发现，学生对小数除法列竖式计算过程中要不要保留小数点存在不同的认识。约30%的学生是保留了小数点进行运算的（如图3）。保留小数点与不保留小数点，看起来只是一个点的不同，但本质上前者是用“数”来除，后者则是用计数单位的“数量”来除。

这提示教师在教学时，要创设情境让学生先经历“分的过程”，在建立深刻表象后，再放手让学生独立尝试列竖式计算;要加强对竖式中疑惑点的思辨，利用“分的活动”辨析“小数点是否要保留”，从而建立“分的过程”与竖式间的对应关系。同时也要加强不同类型的练习和对比，通过比较异同来促进学生对算理的理解，对算法的掌握。

三、对学生竖式计算过程中的理解情况分析

为了解学生是否理解竖式计算的过程，理解水平如何，学生能不能自主发现“小数除以整数”与“整数除法”之间的关联等问题，在学生完成问卷后，教师根据答题情况选择部分能正确列竖式计算的学生进行了访谈。通过访谈，进一步了解学生对竖式计算过程中每一个步骤所表达意义的理解情况。

1.多数学生并不理解竖式中每一步表达的意义。访谈发现，绝大多数学生之所以能列竖式解决问题，多是参照“整数除法”的计算方法迁移而来的。当问及竖式中每个数的意义时，他们缺乏对计算意义本质的理解。

如当教师向能正确列竖式计算96.8÷4（如图4）的学生提问“竖式中的16表示什么意思”时，60%以上的受访学生回答“不知道”。问到“竖式中第一步计算后，得到9-8=1，下面为什么会变成16”时，一半以上受访学生的回答是“6落下来就变成了16”。同样的，当问到“最后一步计算时这两个8分别是什么意思”时，学生的回答基本集中在“第一个8是上面落下来的，第二个8是2×4得到的”。

这说明多数学生虽然能够得到正确的计算结果，但对竖式意义的理解还停留在程序性理解水平。

2.多数学生并不清楚为什么要去掉小数点进行计算。访谈表明，这些能够正确列竖式计算的学生，虽然在列竖式解决问题的时候去掉了小数点，但他们中的大多数并不清楚为什么要去掉小数点进行计算。如教师呈现一份学生作业（如图5），提问：“有人在竖式计算时是像这样保留着小数点进行计算的，你计算时为什么都是去掉小数点的？”80%以上的受访者的回答都是“不知道”。如果教师继续追问：“你觉得这种做法对吗？也就是说，点上小数点计算可以吗？”几乎所有的受访者都回答“也可以”。这说明这部分学生对在列竖式时点不点小数点这个问题同样存有疑惑。

3.学生难以自主发现“小数除以整数”与“整数除以整数”的算理的共同点。为了解学生是怎么理解“小数除以整数”与“整数除法”这两类除法的内在关联的，教师对受访学生提问：“你觉得今天做的小数除法与以前学过的整数除法有什么相同点？”学生的回答大致有两类。第一类认为它们的算法是一样的，理由是可以用商的变化规律，将被除数扩大，使小数除法变成整数除法。也就是说，小数除法可以转化为整数除法。第二类认为它们在计算过程中的部分步骤一致。比如认为小数除法和整数除法都是从最高位算起，除完有余数都是和下一位合起来一起除的规则相同。对这类学生进一步追问“为什么规则是相同的”，学生基本都无法给出合理的解释。

由此可见，即便学生对算法能够正确操作运用，但对算理的理解水平还存在较大的差异。

四、对学生小数除以整数的算理理解水平分析

基于上述分析，研究团队根据测试和访谈情况，基于SOLO分类理论对学生的算理理解水平进行了深入的层次分析，将学生对小数除以整数的算理理解水平划分为5个水平层次。

水平0：无解题思路——不能独立得出小数除以整数计算的答案。

水平1：能利用经验正确解答——如能借助“元、角、分”等生活经验帮助计算，得到正确的结果，并能表达思考过程。

水平2：能用多种方法正确解答——能在原有生活经验的基础上进行方法改造，能用不同方法找到计算问题的答案，并能说清计算的过程。

水平3：能建立方法关联——能对比自己或他人使用的不同方法，并发现这些方法之间存在的关系，形成具有一定关联的结构。

水平4：能抽象出基本算法的算理——提炼出小数除以整数的竖式计算基本算法，并理解算理，形成对“整数除法”的融通。

研究團队对这5个水平层次进行了赋分（0～4），对照学生的答题解析进行了整理、统计，具体情况见表2。

从上表中可以看出，学生对算理的理解达到水平4的学生仅有10人（11.4%），总平均分只有2.02/4，整体处于较低的水平。

这说明多数学生没有理解小数除法与整数除法的算理一样，竖式的每一个步骤都是在记录“计数单位数量的等分”，这是学生理解上的难点。

五、基于前测的教学建议

前测与访谈的结果提示我们，在教学“小数除法”的竖式计算方法时，不能仅仅停留在程序性操作的教学层面上，更要关注通过多种活动引导学生真正理解竖式中的步骤是在记录计数单位“数量”的等分过程。为更好地进行这一内容的教学，提出具体教学建议如下。

（一）重视学生经验的激活和比较

虽然看起来大部分学生都已经会列竖式计算了，但学生往往只知其然而不知其所以然。利用生活经验，结合现实情境让学生经历“分”的过程，对学生理解计数单位的等分会有帮助。因此建议教师在教学时从生活情境入手，利用“元、角、分”的模型，让学生充分体验分钱的过程（把余下的1元转化为10角再分）。这样，操作、算式、语言在比较中互相转化，丰富了“分”的表象，强化了学生对“分”的感知。

（二）加强方法间的关联和优化

关联的过程就是去粗取精、由表及里的过程。学生在学习前已经会用多种不同的算法解决问题，教学时要加强方法间的关联，突出其内在联系。通过沟通与联系，学生能够体会到，不同的方法都是在表征同一个“分的过程”，即都在记录“等分不同计数单位数量”的过程。把方法形成有关联的结构，能促进学生理解的深化。

（三）注重基本方法的归纳和本质原理的感悟

如果想让学生对“把下一位数落下来，再继续除”这一程序性操作过程有更深刻的理解，教师在教学时要注重引导学生经历基本方法的归纳和本质原理的感悟过程。这种感悟主要包含三个方面：①转化。通过活动理解当除不尽有余数的时候，可以转化为更小的计算单位继续除。②合并。大的计数单位上“余”下来的数，转化为小的计数单位后，要与小的计数单位上原有的数量进行合并。③等分。要引导学生明白合并后的数表示的是小计数单位的数量，竖式记录的是将计数单位上的数量进行等分的过程。学生只有充分经历基本通法的提炼和本质原理的感悟，才能深化理解，知其然并知其所以然。这也会为学生在今后的除法竖式计算学习时，能够有效迁移、创新运用知识提供保障。

（浙江省东阳市吴宁第五小学   322100）