巧用“等效法”破解高中物理综合题

陆旷升

[摘 要]在学习高中物理的过程中，经常遇到一些综合题，这些综合题的物理过程比较复杂，用常规方法解答很烦琐，甚至无法解答。若能巧用“等效法”，问题就会变得简单明了。文章利用“等效法” 分析解答一些常见的题型。

[关键词]等效法;高中物理;综合题

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）26-0048-03

“等效法”是中学教学中常用到的思维方法。等效法的实质，是指在效果相同的情况下，将较为复杂难以理解的物理过程、物理现象转换为熟悉的简单的物理过程、物理现象，使问题简单化，便于理解。等效法在高中物理教学中有着广泛应用，比如合力与分力的等效替代关系，电源的等效，运动过程的等效，等等，都是根据等效思想引入的。下面结合教学实践探讨等效法的应用。

一、力的等效

力的等效，就是利用了合力与分力具有相同效果的特性，在分析问题时，利用一个力替代多个力，这样就将较为复杂的物理模型转化为简单的物理模型，然后再利用熟悉的规律去列方程求解。

[例1]一个物体受到[F1]、[F2]……等6个共点力的作用而处于静止状态。现把[F1]逐渐减小到零，物体的加速度与速度怎样变化？如再逐渐将[F1]恢复，则物体的加速度与速度又将怎样变化？

解析：题中物体受到6个大小、方向都不确定的力，且[F1]的大小是在变化的，若要直接求这6个共点力的合力，显然是不可能的。但物体受到6个共点力的作用而处于静止状态，则[F1]与其余5个力的合力等大反向。当[F1]逐渐减小到零时，则合外力逐渐变大，由牛顿第二定律[F=ma]知，加速度[a]逐渐变大，物体做加速度逐渐变大的加速运动，速度逐渐变大;当[F1]逐渐恢复时，则物体受到的合外力逐渐变小，加速度也逐渐变小，但物体仍然做加速度逐渐变小的加速运动，当[F1]恢复到正常时，加速度为零，速度达到最大值。

二、模型的等效

在重力作用下，物体在竖直面内的圆周运动中，“轻绳模型”的受力特点、运动规律、使用范围，这些学生都比较熟悉，也很容易理解。但当某带电体在重力、电场力、弹力等力作用下，在竖直面内做圆周运动时，问题就变得复杂了，学生难以解答，要解决此类问题，我们就得把它迁移到我们熟悉的“轻绳模型”中来，找到等效最高点、等效最低点，以及等效重力加速度，这样问题就变得容易了。

[例2]如图1所示，一光滑圆环轨道固定在竖直平面内，与光滑水平面相切于[B] 点，[B]点有小圆孔不影响小球的运动，圆形轨道半径为[R]。整个空间存在水平向右的匀强电场，场强大小为E。一质量为[m]的带正电小球，电量为[q]，从距离[B]点为[R3]处的[A]点以某一初速度沿[AB]方向开始运动，经过[B]点后，恰能在轨道上做完整的圆周运动（重力加速度为g，[sin37°=0.6，cos37°=0.8]）。求：带电小球在[A] 点的初速度[v0]。

解析：小球在圆形轨道上运动时，受到的重力和电场力均为恒力，轨道对小球的弹力始终不做功。与“轻绳模型”有很大相似之处。也应该用类似的方法求出小球通过“最高点”时的速度。我们可以把重力和电场力的合力看作“等效重力”，假设重力和电场力的合力为[F合]，如图2，且设[F合]与竖直方向的夹角为[θ]，则[tanθ=Eqmg=34]，即[θ=37°]，由此可得[F合=Eqsin 37°=54mg]。等效重力加速度为[g′=54g]，等效重力反向延长交圆周于[D]点，[D]点即为等效最高点。根据“轻绳模型”的结论可知，要使小球能做完整的圆周运动，小球在[D]点的速度为[vD≥g′R=5gR4];从[A]点到[D]点由动能定理有：[-mgR1+cos37°-qER13+sin37°=12mv2D-12mv20]，解得：[v0=52gR]

[例3]如图3所示，一个摆线长为l、质量为m的带正电摆球，悬挂在方向水平向左的匀强电场中。小球由水平位置A，从静止开始向下运动，且到达竖直位置时，速度恰好为零。求小球运动过程中，摆线受到的最大拉力。

分析：小球从A运动到B，动能增量为零。因为摆线的拉力不做功，电场力（qE）对小球做的负功必定等于重力（mg）对小球做的正功，即[qEl=mgl]。可见，小球受到的电场力与小球的重力大小相等。小球到达B后，将在A、B之间来回振动，根据振动的对称性，平衡位置（O）位于AB弧的中点。在平衡位置，电场力与重力的合力，如图4，[F=2mg]，方向与水平方向成45°。将电场与重力场的叠加场等效为另一个重力场，等效重力加速度方向与水平方向成45°，大小为[g′=Fm=2g]，小球通过平衡位置（即等效最低点）时，小球速度最大为[vm]，此时绳的拉力最大。

由动能定理有：[Fl1-cos45°=12mv2m]

根据牛顿第二定律有：[T-F=mv2ml]

所以，绳的最大拉力为：[T=32-2mg]

三、运动的等效

运动的等效，是根据合运动与分运动具有独立性和等时性的性质，将物体复杂的运动分解为若干个简单的运动，这样使分析和解答问题的思路与步骤变得极为简捷。例如物体做平抛运动可等效成：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，或平行于斜面初速度为[v0cosθ]的匀变速直线运动和垂直于斜面方向初速度为[v0sinθ]的匀变速直线运动。若运动物体受到重力等多个力作用时，利用牛顿第二定律分别求出这两个方向的加速度，然后利用运动规律求解。

[例4]如图5，整个装置处于水平向左，场强为[E=1.0×104 N/C]的匀强电场中，一质量为[m=0.20 kg]，電量为[q=2×10-4 C]的小球，从倾角为[θ=37°]的斜面上以速度[v0=10 m/s]水平抛出，最后落到斜面上。问：抛出后经多长时间小球离斜面最远？此时小球离斜面的最远距离是多少？

解析：此题利用等效法进行分析解答，则解答过程比较简单。把小球的运动分解为平行于斜面和垂直于斜面两个方向的运动。如图6，则垂直于斜面方向的初速度为[vy=v0sinθ=10×0.6=6 m/s]。对小球进行受力分析并由牛顿第二定律可求得这个方向的加速度[ay=mgcosθ-qEsinθm=2 m/s2]，小球在垂直于斜面方向做的是匀减速直线运动，当速度[vy]减到0时，小球离斜面最远。所经历的时间为[t=vyay=3 s]，并求得此时小球离斜面的最远距离为[h=vy2t=9 m]。

四、過程的等效

在高中物理中，当涉及两个或两个以上物体间相互作用的问题时，比如动量和能量中的某些题目，由于过程中的“动态”出现反复交替等现象，导致物体的运动过程异常复杂。这类题目，我们无须逐个对过程进行分析，只需清楚其运动特点和规律，就把整个过程等效成一个相对简单的过程，在把握了起始时刻和终了时刻两个状态后，定性分析，就能求解。

[例5]如图7所示，质量为[m=2 kg]的槽A静止在光滑水平面上，内壁间距[L=0.6 m]，槽内放有质量也为[m=2 kg]的滑块B（可视为质点），B到左端侧壁的距离[d=0.1 m]，槽与滑块B之间的动摩擦因数[μ=0.1]。现给A一个水平向右的瞬时冲量[I=8 kg m/s]，槽A与滑块B发生碰撞时，槽A与滑块B交换速度。（[g=10 m/s2]）求：从槽开始运动到槽和滑块B相对静止经历的时间。

解析：分别对A、B两物体做多过程的运动状态分析比较烦琐。分析题目所给的条件和要求的问题，题目要求相对静止时经历的时间;A获得一个水平向右的瞬时冲量，即以[v0=4 m/s]速度向右运动，A受到水平向左的摩擦力[f=µmg=2 N]，向右做匀减速直线运动;B受到水平向右的摩擦力[f=µmg=2 N]，向右做匀加速直线运动，且A、B的加速度大小相等。当A、B间的相对位移等于d时，A、B发生第一次碰撞，之后A、B速度发生交换，A受到的摩擦力变为向右，向右做匀加速直线运动;而B受到的摩擦力变为向左，向右做匀减速直线运动。当A、B再次发生碰撞后，速度再次发生交换，摩擦力的方向也再次改变。依次重复，直到A、B相对静止。过程复杂，碰撞次数也不能确定。这个问题，我们可以等效为物块B在摩擦力[f=µmg=2 N]的作用下，做初速度为0的匀加速直线运动，直至达到共速时所用的时间即为题目所求的时间。A、B在滑动过程中，系统动量守恒，设槽和滑块B相对静止时速度为v，则[I=2mv]，解得[v=2 m/s]。B的加速度为[µmg=ma]，解得[a=1 m/s2]。由[v=at]，解得[t=2 s]。

五、电源的等效

等效电源在高中物理学习中不常用，学生对此也常常觉得难掌握。但在一些电学问题中，比如利用外接法测电源电动势和内阻的实验中，对电动势和内阻的测量值进行误差分析时，利用此法就很便捷。另外，在一些电路中要分析滑动变阻器消耗功率的最值问题时，如果利用常规方法分析，往往很繁杂。等效电源在解决这类问题时就变得简单了，同时又能体现物理思想。使用等效电源的关键是要准确求出等效电源的电动势和内阻。

[例6]如图8所示，电源电动势为[E=10 V]，内阻为[r=1 Ω]，定值电阻[R1=9 Ω]，[R2=10 Ω]，可变电阻[R3]可在[0～20 Ω]之间变化，求[R3]消耗的最大功率。

解析：此题如果先求电路总电阻，再求通过[R3]的电流或电压，最后利用[Pm=I2R3]或[Pm=U2R3]讨论[R3]消耗的最大功率，显然这个思路很繁杂。能否利用结论分析呢？若电源内阻恒定不变，当外电阻等于内电阻时，电源的输出功率最大。由于[R3]不是整个外电阻，因此不能直接套用上述结论。如果“把电源与[R1]串联后再与[R2]并联”看成一个整体，等效为一个新的电源。新电源的等效电动势为[E′=ER2r+R1+R2=5 V]，新电源的等效内阻即为电源内阻r与[R1]先串联再与[R2]并联后的总电阻，则[r′=r+R1R2r+R1+R2=5 Ω]。[R3]就变为整个外电路，此时，当[R3=r′=5 Ω]时，[R3]消耗的功率最大[Pm=E′24r′=1.25 W]。

以上是等效法在高中物理中的一些典型应用，在平时的学习中，熟练掌握最基本物理模型是关键，在实际应用中遇到复杂问题时，抓住问题的实质，灵活运用等效法，繁杂的问题也可以迎刃而解。

（责任编辑 易志毅）