解析几何思想方法在教学中的落实

段英华

用解析的方法研究几何问题是解析几何的核心思想方法。如何将几何问题代数化并结合代数结构进行运算是数学教学的重点和难点。本文以一堂解析几何习题课为载体，通过对学生解题过程的观察，分析解析几何问题的思考方法，给出代数运算的处理细节，并结合代数结构给出改进方法，实现解析几何的思想和方法在实际教学中的落地。

接下来的证明中，两位同学曾尝试分别算出[BP]，[BQ]，再证明两者相等。好在他们很快就意识到这种几何到代数的转化将使运算量比较大，需要优化。我们知道，等腰三角形的一个特点是三线合一，而在解析几何中，计算中点和垂直关系的运算量是比较小的。大多数的同学都在研究点P与点Q的坐标，能明确地向这个方向努力，说明学生基本具备“把几何场景转化为方便计算的代数问题”的意识。接下来的环节中，全班同学的解法大致体现了两种思路。

不得不说，选用解法2的同学的计算错误率略高于解法1。有的学生算出[P]和[Q]坐标后，发现横坐标并不明显相等，在此检查逗留了好久。其实观察一下坐标的形式，我们发现还是非常相似的，所以要考虑作差法。有一部分学生在实施作差的时候，通分后把（*）式强行打开，式子项数有18项之多，导致运算出错。其实如果我们关注到它的结构，就会发现平方差的形式，运算就得到了化简。我们在解析几何的运算中要有根据代数式的结构决定计算方法的意识，这是代数运算能力的一个重要体现。

通过对学生解题过程的观察，我对学生出现问题比较了解，如何讲评这道题也心中有数了。接下来的讲评过程中，学生积极参与，热烈讨论，大家收获满满。但带领学生对这道题的研究其实才刚刚开始：本题基本结论就是证明点[M]在椭圆上变化的过程中，直线[PQ]始终保持垂直于[x]轴，这是椭圆的一个几何性质。其实椭圆中类似的几何特性非常多，他们都隐藏在代数形式中，需要我们用解析的方法加以挖掘。在此过程中，除了要不畏惧计算，更要有发现和分析代数结构的意识。那么，就这道题而言，这个“神奇”的結论隐藏在怎样的代数结构中呢？

最后这一部分的提升将习题课推向了高潮，学生们惊叹“基于结构的代数运算”有化腐朽为神奇的力量。用解析的方法研究几何问题是解析几何的基本思想方法，在日常教学中，我们不能简单地强调解析几何就是计算，而应该在具体情形中带领学生分析如何结合代数结构设计计算路径。唯有如此，解析几何的基本思想方法才能真正落地，在学生心中生根发芽。

（作者单位：北京市十一学校）

（责任编辑 晓寒）