辅助角出手,三角题破解

◇ 宁夏 张玉生

一般对形如y＝asinx＋bcosx(a2＋b2≠0)或y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x(a,b,c≠0)的三角式的化简、求解往往需要用到辅助角公式．辅助角公式是研究三角函数问题强有力的工具,在解题中应用极其广泛．下面撷取几个典型实例来展示辅助角公式的“高效性”．

1 求值问题

例1已知则tanα 的值为_____．

解析由于

点评借助辅助角公式加以转化,进而利用三角函数值所满足的条件确定对应角的关系式,再利用三角函数值求解．辅助角公式的引入和应用,可以有效地简化计算过程．

2 化简问题

例2化简

解析

点评直接把利用两角和与差的正弦和余弦公式展开,再加以整理、化简,也可以很好地解决问题,只是解题过程较为烦琐．

3 最值问题

例3试求函数上的最大值与最小值．

解析由于

点评涉及asinx＋bcosx(a2＋b2≠0)此类三角函数式的最值问题,往往需要通过辅助角公式将其转化为的形式,再利用三角函数的图象与性质来确定最值,从而使问题获解．

4 参数问题

例4已知三角函数y＝sin2x＋acos2x(a∈R)的图象关于直线对称,则实数a 的值为_____．

解析根据辅助角公式可得y＝sin2x＋acos2x＝而三角函数的图象关于直线对称,则当时,三角函数取得最值即a2＋2a＋1＝0,解得a＝－1．

点评在对三角函数式的转化过程中,巧妙利用了辅助角公式,引入角φ,再结合三角函数的图象与性质加以分析与应用,达到求解参数的目的．

5 创新问题

例5函数的值域为_____．

解析原函数可化为sinx－ycosx＝2y．

点评直接求解三角分式函数的值域存在困难,而通过分式函数整式化,利用辅助角公式把相关问题转化为有关正弦函数的值域问题求解会更简便．

6 综合问题

例6(2017年北京卷文16)已知函数f(x)＝

(1)求f(x)的最小正周期;

解析(1)因为所以f(x)的最小正周期

点评解决三角函数的此类综合问题时,要注意利用三角关系式(特别是辅助角公式),把三角函数化为一个角的一个函数的形式后才可求解．