Jordan标准形的计算与矩阵相似的判定

尹小艳， 杨丹丹， 潘铭樱

(西安电子科技大学 >数学与统计学院，西安710071)

1 引 言

Jordan标准形理论阐述了一个n阶复矩阵在相似意义下最简单最本质的形式，是线性代数中处理特征值相关问题的常用和重要工具，但线性代数对Jordan标准形的计算并没有给出好的办法.本文借助特征值的代数重数和几何重数， 对三阶、四阶复矩阵及某些特殊的高阶矩阵，给出计算其Jordan标准形的一种简单有效的方法， 并进一步探讨矩阵相似的判定问题，对3阶、4阶矩阵，分别给出切实可行且易于操作的判定相似的充要条件.这是高等代数、线性代数教学中的一个重点和难点，也是近年来研究生入学考试命题的一个热点问题[1-4].

2 特征值的代数重数和几何重数

众所周知，数λ是n阶方阵A的特征值当且仅当λ是其特征多项式|λE-A|的根，非零向量x是A的属于特征值λ的特征向量当且仅当x是齐次线性方程组(λE-A)x=0的非零解.

定义1对n阶方阵A的任意特征值λ，若λ是|λE-A|的m重根，就称特征值λ是A的m重特征值，也称λ的代数重数是m，记作mλ=m.特别地，若m=1，称λ是A的单特征值.

记Vλ={x|Ax=λx}为特征值λ的特征子空间，称Vλ的维数为特征值λ的几何重数，记作nλ=dimVλ.根据特征向量的计算方法易知nλ=n-r(λE-A).

3 Jordan标准形理论

Jordan标准形每个n阶复方阵A一定与一个Jordan形矩阵J=diag(J1，J2，…，Js)相似，即

∃T:可逆，s.t.T-1AT=J=diag(J1，…，Js)，

且这个Jordan形矩阵J除了其中Jordan块的排列顺序外由A唯一确定，称为A的Jordan标准形，其中第i个Jordan块为

这里所有Jordan块的主对角线上元素的集合即为矩阵A的所有特征值(重根按重数算)，可逆矩阵T的各个列向量分别为对应的广义特征向量.

特别地，当每个Jordan块都是1阶时，Jordan标准形就变成了对角形.

关于矩阵的Jordan标准形，有以下重要结论:

命题1对特征值λi，Jordan标准形J中，以λi为主对角元的Jordan块的块数等于λi的几何重数nλi，而所有这样的Jordan块的阶数之和等于特征值λi的代数重数mλi.

证由Jordan标准形定理

∃T：可逆，s.t.T-1AT=J=diag(J1，…，Js)，

从而A与J特征值相同，而J为下三角形，故其特征值即为所有主对角元素，从而以λi为主对角元的Jordan块的阶数之和必为特征值λi出现的次数，也就是它的代数重数mλi.

关于几何重数，不妨设J中以λi为主对角元的Jordan块有2个，即

T-1AT=J=diag(J1，J2，J3，…，Js)，

λiE-A=T(λiE-J)T-1=Tdiag(λiE-J1，λiE-J2，λiE-J3，…，λiE-Js)T-1，

知

且λiE-Jk(k=3，…，s)均为满秩下三角形，可知λi的几何重数nλi=n-r(λiE-A)=n-r(λiE-J)=n-(n-2)=2=J中以λi为主对角元的Jordan块的块数.若J中以λi为主对角元的Jordan块有p个，同理可证结论成立.

推论1对n阶复方阵A的任意特征值λi，代数重数大于等于其几何重数，即mλi≥nλi.

显然，对A的单特征值λ，必有mλ=nλ=1.

Jordan标准形理论表明，任意一个n阶复矩阵经过相似变换最简单可以变成由Jordan块构成的块对角形.因此是线性代数和高等代数中处理特征值相关问题的常用工具，比如特征值谱映射定理的证明，比如矩阵函数的计算等.关于Jordan标准形的计算，高等代数[1]中用一整章的篇幅，通过引入λ-矩阵及行列式因子、不变因子、初等因子等概念给出.而利用命题1，对三阶、四阶矩阵及某些特殊的高阶矩阵，可以完全避开λ-矩阵，简单地计算出Jordan标准形，以下分别分析:

(i) 设A为3阶复方阵:

情形1若A有3个互异特征值λ1，λ2，λ3，即mλi=nλi=1，i=1，2，3，则A必可相似对角化，其Jordan标准形必为J=diag(λ1，λ2，λ3).

情形2若A有2个互异特征值λ1(二重)，λ2，即mλ1=2；mλ2=1，此时

当nλ1=2，A的Jordan块确定:J1=J2=λ1，J3=λ2.

情形3若A只有1个互异特征值λ1(三重)，即代数重数mλ1=3，于是

当nλ1=3，A的Jordan块确定:J1=J2=J3=λ1.

(ii) 设A为4阶复方阵:

情形1若A有4个互异特征值λ1，λ2，λ3，λ4，则必有mλi=nλi=1，i=1，2，3，4.于是A可相似对角化，其Jordan标准形为J=diag(λ1，λ2，λ3，λ4).

情形2若A有3个互异特征值，则必有且仅有一个特征值为二重特征值，其余均为单特征值.不妨设A的特征值为λ1(二重)，λ2，λ3，则

当nλ1=2时，A的Jordan块为J1=J2=λ1，J3=λ2，J4=λ3.

情形3若A有2个互异特征值λ1(二重)，λ2(二重)，即mλ1=2；mλ2=2，nλ1=1或nλ1=2，nλ2=1或nλ2=2，从而

当nλ1=nλ2=2时，A的Jordan块为:J1=J2=λ1，J3=J4=λ2.

情形4若A有2个互异特征值λ1，λ2(三重)，此时

当nλ2=3时，A的Jordan块为:J1=λ1，J2=J3=J4=λ2.

情形5若A只有1个互异特征值λ1(四重)，即mλ1=4，于是

当nλ1=2 ，此时A有两个Jordan块J1，J2，且

当nλ1=4，A的Jordan块确定:J1=J2=J3=J4=λ1.

解先求矩阵A的特征值得λ1=2，λ2=-2(二重).

对二重特征值-2，几何重数为nλ2=3-r(λ2E-A)=3-2=1，

解先求矩阵A的特征值:|λE-A|=-(λ-1)4=0得λ1=1(四重).

事实上， 除了三阶、四阶矩阵，对某些高阶矩阵A，根据命题1，只要A的特征值及其代数重数和几何重数的值能使我们较为容易地确定出A的所有Jordan块，就可以确定其Jordan标准形.

解显然A的特征值为λ1=a1(n重)，且其几何重数为nλ1=n-r(λ1E-A)=n-(n-1)=1，因此A的Jordan块只有一个，即为A的Jordan标准形:

解不难看出

4 三/四阶矩阵相似的判定

数字矩阵相似关系的判定是高等代数中的一个难点， 通过引入λ-矩阵，有如下结论:

两个n阶复数字矩阵A与B相似

⟺A与B有相同的初等因子组/不变因子组/各级行列式因子

⟺A与B的特征矩阵等价.

与Jordan标准形的计算类似，对三阶、四阶复矩阵及一些特殊的高阶复矩阵，利用命题1，可以完全避开λ矩阵及其相关概念，仅通过计算特征值及其代数和几何重数来判断相似性.事实上，由相似关系的对称性和传递性，不难得到：

命题2两个n阶复数字矩阵A与B相似

⟺ 他们有相同的Jordan标准形

⟺ 他们有相同的Jordan块.

根据命题1、2，对3阶方阵，其Jordan标准形由其特征值及每个特征值的代数及几何重数唯一确定.于是若两个3阶复方阵有相同的特征值且每个特征值的代数重数和几何重数对应相等，则他们的Jordan块必定相同，从而必相似.

命题33阶复方阵A，B相似当且仅当它们有相同的特征值且每个特征值的代数重数和几何重数对应相等.

深刻理解命题3，可以使我们非常容易地判断3阶复方阵的相似问题，甚至有时仅通过观察就可以得到正确结论，简洁明了.比如在2018年全国硕士研究生招生数学科考试(数一、二、三)中有如下题目：

显然题目所给矩阵为由一个3阶Jordan块构成的Jordan标准形矩阵，由命题1，特征值为λ=1的代数重数mλ=1=3，nλ=1=1，从而与之相似的矩阵应该满足r(1·E-A)=3-nλ=1=2，在上述4个选项中，显然只有选项(A)满足条件，故选(A).

类似地，对4阶方阵，由前面分析知，若两个4阶复方阵A，B有相同的特征值且每个特征值的代数重数和几何重数对应相等，仅当出现mλ1=4，nλ1=2时，需判断关系式(λ1E-A)2=(λ1E-B)2是否相等，其余情况均可得出A，B的Jordan块相同，从而相似.

命题4对4阶复方阵A，B:

(i) 若A，B有相同的4重特征值λ1，且其几何重数均为2，则

A，B相似 ⟺ (λ1E-A)2=(λ1E-B)2；

(ii)其余情况下，均有

A，B相似 ⟺A，B特征值相同且每个特征值的代数重数和几何重数分别对应相等.

由命题1、2，一般地，对n阶复方阵A，B， 有

命题5两个n阶复数字矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值，且每个特征值的代数重数和几何重数分别对应相等.

命题5的条件必要非充分，经常可以用来判定n阶复方阵A，B不相似.

解显然A，B的特征值均为λ1=1(n重)，但对矩阵A，其几何重数为nλ1(A)=1，而对矩阵B，其几何重数为nλ1(B)=n-r(λ1E-B)=n-(n-2)=2，因此A，B必不相似.

5 结 论

本文借助于特征值的代数重数和几何重数的概念， 讨论了Jordan标准形的计算及数字矩阵相似关系的判定问题.分别对三阶、四阶复矩阵， 给出一种计算其Jordan标准形的简单有效的新方法； 同时，对3阶、4阶矩阵，分别给出了相似判定的充要条件， 并得到任意n阶复方阵相似的一个必要条件；多个数值例子验证了所得结果的有效性.本文工作为Jordan标准形的计算及矩阵相似的判定进行了有益探索，加深了同学们对相关理论、技能的理解和掌握.

致谢参考文献4对本文工作有很大启发， 审稿人的宝贵建议使本文得到进一步完善， 在此一并表示衷心感谢!