利用组合知识求二项(三项)展开式中的指定项(系数)

田素伟

(上海市泥城中学 201306)

二项式定理是高中数学的重要知识，在高考中考查的二项式定理大多是以填空题的形式出现.在掌握二项式定理及其通项公式的基础上，学会利用计数原理与组合知识求二项(三项)展开式中的指定项(系数),会起到事半功倍的效果.

一、一个二项式展开式中的指定项(系数)

例题1在(1-2x)6的展开式中，x2的系数为____(用数字作答).

所以在(1-2x)6的展开式中，x2的系数为60.

故答案为：15．

二、两个二项式乘积展开式的指定项(系数)

A．15 B．20 C．30 D．35

评析对于两个二项式乘积或者几个多项式积的展开式中的特定项(系数)的问题，可以利用类似单项式与多项式的乘法或者多项式与多项式的乘法，转化为多项式和的形式，然后利用组合知识来解决展开式指定项(系数)的问题.常需分类解决展开式中的特定项(系数)，求出相应的特定项(系数)，最后再进行合并．

练习(2019年高考全国卷)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为____.

A．12 B．16 C．20 D．24

简析(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4.

三、求三项式展开式的指定项(系数)

例3(2015高考新课标1，理10)(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为( )

A.10 B.20 C.30 D.60

2.在(x2-3x+2)5的展开式中，x项的系数为____(结果用数值表示)．

3.(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为(-210).

分析(x2-x+1)10的展开式是10个(x2-x+1)相乘的结果.要其展开式中含x3的项，在本题(x2-x+1)10展开式中x3项，10个(x2-x+1)任意取3个括号内的(-x)相乘，可以得到x3项，10个(x2-x+1)任意取1个括号内(-x)与1个括号内的x2相乘，也可以得到x3项，所以分两类.

(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为-210.

利用计数原理和组合知识在求三项式展开式的指定项(系数)时的更为简捷，所以在掌握二项式定理及其通项公式的基础上，学会利用组合求二项(三项)展开式中的指定项(系数)，可以使这类问题的解题更为简便.