极限思维法在高中物理解题中的有效应用

许奇龙

(浙江省龙游县第二高级中学 324400)

一、运用极限思维法攻克解题难点

例1现有一辆小推车，利用一根穿过定滑轮的绳索来搬运物体，将物体从低处移动到高处，如图1所示，现将绳索记为PQ，物体质量记为m.已知绳索PQ的P端固定在小车末尾的挂钩上，而Q端则与物体接触，固定物体，忽略绳索在拉动物体时的长度变化，同时绳索的质量、定滑轮的质量和尺寸以及绳索与滑轮之间存在的摩擦都不进行考虑.在初始阶段，小车处于A点，左侧以及右侧的绳索都已固定且处于竖直、绷紧状态，记A点的小车的绳索的长度为H，在拉升物体的过程中，小车处于加速状态且向左侧水平运动，从A点出发经过B点向C点运动.设A点与B点之间的距离也恰好是H，且小车经过B点时的速度为vB，试求：小车由A点运动到B点的过程中绳索的拉力对物体所作的功.

根据图1可以得出绳索的速度v从A点运动到B点再向C点运动的过程中，绳索的速度v会随着角度θ发生变化而出现相应的变化，因此在对小车由A点运动到B点所具有的即时速度大小vt的思考过程中，就可以从B点向外推到两个理想性极限值来进行考察和推断.在A点时，θ=90°，绳索的速度v=0，而当小车运动到无限远时，可以认为θ=0°，而此时的绳索的速度则逐渐由A点的速度v=0增大到和小车速度一致.那么就可以认为从A点开始运动到无穷远处的过程中的绳索速度的改变规律是满足关系v=v车cos90°=0的.进行验证：在A处，v=v车cos90°=0；在无穷远处，v=v车cos90°=v车，故成立.因此，就可以在B点应用关系式v=vBcosθ.而由于vt=v，就可以推出小车在到达B点时相应的物体的速度为vt.而在得出小车由A点运动到B点时，物体所具备的即时速度的大小vt后，本题的突破口就已经找到，难点就已经解决了，绳索的拉力对物体所做的功的大小的计算自然也就迎刃而解了.

以质量为m的物体作为研究对象，根据动能定理就可得出：

即绳索的拉力对物体所做的功

二、运用极限思维法探求解题方向

例2现有两个高度相同的光滑斜面，记为甲、乙.斜面乙和斜面甲是总长度一致，但是斜面乙是由两部分拼接而成的，如图2所示.现有两个完全相同的小球，将它们分别从两个斜面的顶端释放，小球与接触处的能量损失忽略不计，问：斜面甲和斜面乙上释放的小球哪一个会先到达底端？

解析首先设斜面甲的长度为L，斜面乙长度与甲相等，因此也为L.对斜面甲来说，小球运动到斜面底端所花费的时间直接用运动学公式就可以求得，

对斜面乙来说，由于题干信息不足，因此无法利用常规方法直接求得小球运动到底端的时间.在这里，就可以利用极限思维法进行思考和分析.从斜面乙的两部分所成夹角的连续性变化出发，可以得到夹角的变化范围为90°-180°，那么斜面甲就可以视为是斜面乙的理想极限值，即180°.继续外推斜面乙到另一个理想极限值90°，如图3所示，在90°斜面的情况下小球运用到底部所花费的时间就可以分为两部分来进行计算，即AB段以及BC段.

因此小球运动的总时间t乙′为

因为L>h，所以t甲>t乙′.

又因为在图2中斜面乙的折角为90°-180°，因此小球沿斜面乙滑行的时间t乙满足t甲>t乙>t乙′.故斜面乙上的小球先滑到底端.

总而言之，面对物理题时，学生可以尝试利用极限思维方法来进行解题，极限思维法能够有效地攻克解题难点，帮助学生快速找到解题方向.同时，极限思维法能够做到另辟蹊径，化繁为简，化难为易，其特殊性也使得学生在解题时的解题效率能够得到极大的提升.