高考考查球的常见方式与对策

廖永福

(福建省厦门第二中学 361009)

高考考查球的常见方式有三种：以“截面”为载体进行考查、以“相接”为载体进行考查和以“相切”为载体进行考查.题型多为选择题或填空题，难度基础或中等.主要考查球的概念、球的截面的性质、球的体积和表面积的计算、球的切接问题等.以近几年高考试题为例阐述如下.

一、以“截面”为载体进行考查

用一个平面去截球面，当平面过球心时，截面是球的大圆；当平面不过球心时，截面是球的小圆.解决这类问题的关键在于抓住球的截面的性质：(1)球心与截面小圆圆心的连线垂直于截面；(2)球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面的距离d满足R2=r2+d2.

例1 (2013年新课标Ⅰ文)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为____．

分析由截面圆的面积可求出截面圆的半径，再根据球的截面性质，列出关于球半径的方程，求出球的半径，即可求出球的表面积．

图1

∵α截球O所得截面的面积为π，∴截面圆的半径r=1.

点评本题考查球的截面性质和球的表面积的计算等，求出球的半径是解题的关键.

分析正确作出图形，根据球的截面性质可得OK⊥⊙K所在的平面，在Rt△OCK中求出OC，再在等边△OAB中求出球的半径OA，问题得解．

解答如图2，设C是两圆公共弦AB的中点，则AB⊥OC，AB⊥CK，从而∠OCK是二面角O-AB-K的平面角，∠OCK=60°.

图2

∴球O的表面积等于S=4π·OA2=16π.故答案为16π.

点评本题考查二面角、球的截面的性质和球的表面积的计算等，正确作出图形，求出球的半径是解题的关键．

二、以“相接”为载体进行考查

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.类似地，若一个旋转体的顶点和底面圆周上各点都在一个球的球面上，则称这个旋转体是这个球的内接旋转体，这个球是这个旋转体的外接球.这类问题统称为相接问题，球面与几何体的公共点就是接点.解决这类问题的关键在于抓住相接的特点，即球心到接点的距离等于球的半径.

1.球与柱体

例3 (2017年新课标Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ).

分析由于圆柱内接于球，根据相接的特点及截面的性质知，连结圆柱上下底面圆心的线段O1O2的中点即为球心O，如图，在Rt△OO2A中，求出圆柱底面半径O2A，就能求出圆柱的体积．

图3

解答如图3，∵圆柱O1O2内接于球O，

∴O为线段O1O2的中点，且O1O2⊥⊙O2所在的平面，∴O1O2⊥O2A.

点评本题考查球与圆柱相接的特点，球的截面的性质和圆柱的体积的计算等，确定球心的位置，求出底面圆的半径是解题的关键.

例4 (2009年全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于____．

图4

解答如图4，设O1、O2为直三棱柱上下底面外接圆的圆心.

∵直三棱柱ABC-A1B1C1内接于球O，

∴O为线段O1O2的中点，且O1O2⊥平面ABC，∴O1O2⊥O2A.

故此球的表面积为4πOA2=20π，故答案为：20π.

点评本题考查球与棱柱相接的特点，球的截面的性质和球的表面积的计算等，确定球心的位置，求出球的半径是解题的关键.

2.球与锥体

图5

∵圆锥AO1和圆锥BO1内接于球，

∴O∈AB且AB⊥⊙O1所在的平面，∴AB⊥O1C.

点评本题考查球和圆锥相接的特点，球的截面的性质以及圆锥高的计算等，确定球心的位置，得出OC=2O1O是解题的关键.

例6 (2014年大纲版)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ).

分析由于正四棱锥内接于球，根据相接的特点及截面的性质，球心O必在正四棱锥的高PO1所在的直线上 且OA=OP.如图，在Rt△OO1A中，根据勾股定理求出球的半径，进而求出球的表面积．

解答设球O的半径为R，PO1⊥平面ABCD.

图6

∵正四棱锥P-ABCD内接于球O，∴O∈PO1，OA=OP.

点评本题考查球和棱锥相接的特点，球的截面的性质以及球的表面积的计算等，确定球心的位置，求出球的半径是解题的关键．

三、以“相切”为载体进行考查

若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.类似地，若一个旋转体的底面和各母线都与一个球的球面相切，则称这个旋转体是这个球的外切旋转体，这个球是这个旋转体的内切球.这类问题统称为相切问题，球面与几何体的公共点就是切点.解决这类问题的关键在于抓住相切的特点，即球心到切面(或切线)的距离等于球的半径.

例7 (2016年新课标Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是( ).

解答∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．

点评本题考查球与棱柱相切的特点和球的体积的计算等，根据已知条件求出球的半径是解答的关键．

图7

例8 (2006年江西)如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O，且与BC,DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1、S2，则必有( ).

A．S1S2

C．S1=S2D．S1,S2的大小关系不能确定

分析由于球内切于四面体，所以球心到四面体各面的距离都等于球的半径.利用割补法可以把四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC体积之间的关系转化为表面积之间的关系，问题得解.

解答连结OA,OB,OC,OD,OE,OF，则VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD，

VA-EFC=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC.

∵VA-BEFD=VA-EFC，∴VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD+VO-AFD=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC

又∵每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，

∴SABD+SABE+SBEFD+SAFD=SAFC+SAEC+SEFC，∴S1=S2.故选C.

点评本题考查球与多面体相切的特点以及多面体表面积的计算等，抓住相切的特点，找出表面积和体积之间的共有特征是解题的关键.

综上可见，理解球的概念，掌握球的截面的性质、球的体积和表面积的计算公式以及球的切接问题的特点是解题的基础；正确画出图形，选择恰当的平面，把空间问题转化为平面问题是解题的关键；如能掌握化归思想、方程思想、数形结合思想等数学思想方法就等于拿到了开启数学解题大门的金钥匙.