高考概率与统计内容比较的教学启示

张科研　苑常在

摘 要：从近四年的14套高考理科试卷来看，概率与统计试题背景广泛，注重应用性、思想性。高考概率与统计试题突出强调学生要有一定的数学模型意识，能够灵活处理实际背景下的数据信息，实现数据信息重组整合，并向概率与统计的主干知识点靠拢。当然，在解决问题时还经常需要将概率与统计的知识与其他数学知识比如：导数、函数等交汇融合。笔者尝试通过典型试题分析总结一些考查方向，以期能给一线教师教学提供一点经验。

关键词：高考;概率;统计;比较;教学启示

高考作为万众瞩目的第一大考，不仅要发挥国家公平选拔人才的作用，而且其试题内容的导向也具有鲜明的导向意义。从某种意义上来说，高考数学不仅是检测高中数学教育教学质量的有力手段，也是體现中学数学教育教学改革成效的重要窗口。

高考数学试题体现立德树人的理念，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力的考查，体现了高考的育人导向作用。

对于教师而言，对高考概率与统计真题进行研究，一方面有利于教师更好地把握概率与统计的考查方向，另一方面有助于教师领悟高考数学试题体现的数学思想方法，以期教育教学质量有所提高。

2018、2019、2020年很多省份采用全国卷（包括全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、全国Ⅲ卷）。2020年山东省勇于创新，新高考自主命题试卷应运而生。2021年高考数学，教育部考试中心将全国Ⅰ卷、Ⅱ卷合并为全国乙卷，将全国Ⅲ卷命制为全国甲卷，并且分文、理科数学试卷。与此同时又命制了新高考Ⅰ卷（试卷不分文理科）、新高考Ⅱ卷（试卷不分文理科）。当然除此之外，还有一些省市单独命题高考试卷。

本文是以2018—2021这4年部分理科试卷中的概率与统计试题为研究对象。具体的是以下的14套高考理科卷：2018全国Ⅰ卷、2018全国Ⅱ卷、2018全国Ⅲ卷、2019年全国Ⅰ卷、2019全国Ⅱ卷、2019全国Ⅲ卷、2020年全国Ⅰ卷、2020全国Ⅱ卷、2020全国Ⅱ卷、2020新高考山东卷、2021年全国甲卷、2021全国乙卷、2021新高考Ⅰ卷、2021新高考Ⅱ卷。

一、试卷的统计分析

（一）时间 试题出处 题型、题量及分值 涉及的主题背景 考查的知识点

2018 全国Ⅰ卷 选择题、题量2、分值10 新农村建设中农村经济收入（3题） 统计推断：饼图

数学文化：古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形（10题） 概率：几何概型

解答题、题量1、分值12 工厂产品检验（20题）概率：分布列、期望、相互独立、二项分布

全国Ⅱ卷 选择题、题量1、分值5 数学文化：数学家陈景润研究的哥德巴赫猜想（8题） 概率：古典概型

解答题、题量1、分值12 环境基础建设投资（18题） 统计推断：线性回归方程及相应的预测

全国Ⅲ卷 选择题、题量1、分值5 科技发展：移动支付（8题） 概率：方差、二项分布

解答题、题量1、分值12 科技创新：工厂改进生产方式（18题） 统计推断：茎叶图、独立性检验

2019全国Ⅰ卷 选择题、题量1、分值5 数学文化：我国古代典籍《周易》中“卦”（6题） 概率：古典概型

填空题、题量1、分值5 五育并举方面：篮球比赛（15题） 概率：二项分布、相互独立

解答题、题量1、分值12 科技创新：新药研制 （21题）概率：分布列 数列：等比数列

全国Ⅱ卷 选择题、题量1、分值5 五育并举方面：演讲比赛（5题） 统计：样本估计总体

填空题、题量1、分值5 科技发展：高铁列车（13题）概率：频率估计

解答题、题量1、分值12 五育并举方面：篮球比赛（18题） 概率：二项分布、相互独立

全国Ⅲ卷 选择题、题量1、分值5 语文阅读：四大名著（3题） 概率：频率估计

解答题、题量1、分值12 科学实验：甲乙两种离子在小鼠体内的额残留程度（17题） 统计：样本估计总体

2020全国Ⅰ卷 选择题、题量1、分值5 科学实验：种子发芽率与温度的关系（5题） 统计推断：线性回归 方程及相应的预测

解答题、题量1、分值12 五育并举方面：羽毛球比赛（19题） 概率：二项分布、相互独立

全国Ⅱ卷 选择题、题量1、分值5 疫情防控方面：需要志愿者的人数（3题） 概率：频率估计

填空题、题量1、分值5 垃圾分类宣传：人数分配（14题） 计数原理：排列组合

解答题、题量1、分值12 生态环保方面：沙漠治理，野生动物数量变化（18题） 统计：样本估计总体（平均数估计、相关系数、抽样方法）

全国Ⅲ卷 选择题、题量1、分值5 无背景（3题） 概率：标准差

填空题、题量1、分值5 无背景（14题） 计数原理：二项式定理

解答题、题量1、分值12 兴趣小组：空气质量、公园锻炼人数（18题） 概率：频率估计;统计： 平均数、独立性检验

新高考山东卷 选择题、题量1、分值5 志愿者安排（3题） 计数原理：排列组合

解答题、题量1、分值12 环境保护：对空气质量调研（18题） 概率：频率估计统计：独 立性检验

2021 全国甲卷 选择题、题量1、分值5 农村经济情况（2题） 统计推断：样本估计总体

选择题、题量1、分值5 无背景（10题） 概率：古典概型

解答题、题量1、分值12 机床生产产品质量（18题）概率：频率估计统计：独立性检验

全国乙卷 选择题、题量1、分值5 北京冬奥会志愿者（6题） 计数原理：排列与组合

解答题、题量1、分值12 检验设备指标有无提高（17题） 统计：平均数、方差

新高考Ⅰ卷 选择题、题量2、分值10 小球抽取问题（8题单选） 概率：相互独立

无背景（9题多选） 统计：样本估计总计（平均数、极差、标准差、中位数）

解答题、题量1、分值12 “一带一路”知识竞赛（18题）概率：分布列、相互独立、期望

新高考Ⅱ卷 选择题、题量1、分值5 无背景（6题） 概率：正态分布

选择题（多选）、题量1、分值5 无背景（9题） 统计：样本估计总体（平均数、中位数、极差、标准差）

解答题、题量1、分值12 科学背景：微生物群体的繁殖下一代（21题） 概率：分布列、期望、相互独立（与函数、导数、不等式交汇）

（二）通过研究分析得到的结论

从统计结果来看，题数总计36道，其中选择题计18道，其中包括多选题2道。因为新高考改革，所以近两年山东和辽宁等省份高考数学试卷出现多选题;填空题仅4道，解答题共计14道。其中主观题、选择题和客观题、解答题属于必考项，而填空题是偶尔考。

1.从14套试卷来看，正态分布知识考查极少，只有1道题。笔者还发现这36道题中只有3道题是计数原理内容。计数原理无论是排列组合还是二项式定理的考查的概率相对较低。

2.从解答题来看，涉及的统计内容包括样本估计总体（频率分布直方图、饼图、平均数、中位数、方差、标准差）、线性回归方程、相关系数、独立性检验重基础。涉及概率的内容包括相互独立、二项分布、期望、方差等，综合性较强，然而涉及频率估计概率的部分较基础。

3.试题大多有实际背景，无背景的试题相对较少。一部分试题涉及社会服务、五育并举、生命科学等背景。其中2021新高考Ⅱ卷以微生物种群繁殖下一代为科学背景，也是与我们国家提倡开放三胎的生育政策相呼应，体现了高考数学试题开放创新，与时代同频共振。

二、教学启示

以教材为基础，重视知识生成过程

（一）教师必须认真研究数学新课程标准和教材内容，正确掌握课标对“概率和统计”的要求。教师要尊重教材，钻研教材，巧用教材。对于主观题很多是教材示例、练习题的组合或者习题适当地加工开拓等。因此，教师要以教材为基础，重视知识的生成过程，讲透相关的概念和公式。

（二）教材中关于“概率与统计”知识的介绍与现实背景是分不开的。所以，十分有必要介绍和分析很多具体的生活实践中的实例。对于有些概率与统计问题，学生必须经历实践，方能领悟到位。数学课堂不仅要有活动性、探索性，而且要有思考性、引领性，目的是让学生在活动的基础上进行深度思考、理性思考。教师要引导学生，经历系统的数据处理过程，让学生从中学习一些数据处理的方法，并用所学的知识、方法解决实际问题，这也体现了从做中学，从做中悟的教育理念。

（三）以阅读为基础，重视数据分析素养的提升

高考试卷中的“概率与统计”的问题，其特征是文章阅读量大、信息量大、数据多。在“概率与统计”的教学中，教师有必要把培养学生的阅读能力作为重要的教学目标。我们知道，教材的内容和问题的陈述内容一般都很长，所以教师有必要让学生进行大量阅读，让学生在泛读、精读之后用自己的语言表达文中内容是培养学生数学阅读能力的有效途径之一。通过阅读，考生对重要的数学信息会更加敏感，有利于学生数据分析素养的提升。

（四）以育人为基础，重视知识创新和发展

1.加强数学应用教学。“概率与统计”是高中数学新教材的重要内容之一，也是体现数学应用性的重要内容之一。从教材的内容中提取具有社会价值的数学应用背景，指导学生经常关注生活背景、社会现实、经济建设、科学技术发展等各个方面。解决概率与统计问题时，请注意理解变量的多样性。

2.加强学科内知识整合教学。统计概率的问题已经出现了学科内横向交叉点。教师在教学中要注重发掘知识之间的内在联系。比如：统计概率与函数的交叉、与不等式的交叉、与数列的交叉等。教师要精心设计主题内容，让学生体会各知识之间的联系，促进学生数学认知结构重塑和整合。

结束语

我们不难发现概率与统计知识应用范围广，尤其在决策中作用越来越大。试题从“一核四翼”的角度出发，将必备知识、关键能力和个性品质一体化，全面考查学生的综合能力和核心素养。概率与统计试题强调知识的综合性、思想性、创新性。試题以必备知识为载体，将社会经济发展与知识紧密相连，使统计与概率的知识考查具有一定的深度、温度。

本文以2018—2021年的14套高考理科试卷为例，对近4年部分高考数学试卷的概率和统计内容进行了比较系统地总结分析。对试题考查方向及试题背后所包含的统计和概率思想进行了研究分析，帮助一线教师更好地理解试题的考查方向，为一线教师教学提供了一点参考。

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