浅析动点问题中的有规律运动

陈芙蓉

【摘要】动点问题是历年来广东省中考数学中必考问题，综合性强，难度较大，常常与三角形、四边形、圆、二次函数等结合在一起，能很好地考察学生的解题能力和思维能力等数学核心素养.本文基于教学实践，通过近两年广东省数学中考第17题的动点“隐”圆问题进行分析，阐述部分动点问题中动点的运动存在着一定的运动规律，只要抓住动点在运动中始终保持不变的量，问题将迎刃而解。

【关键词】初中数学;动点问题;规律;隐圆

在初中数学的考试中，几何中的动点问题一直是重点考察内容，考察方式也是在不断变化，很多同学对动点问题都会“望而生畏”，往往无从下手，每年中考中动点题的得分率也是相当低.其实对于一些动点问题，动点的运动遵循一定的规律，弄清动点在运动过程中始终不变的关系，就能把握住动点的运动规律，从而解决问题.下面结合近两年广东省中考数学第17题说明动点的运动是有一定的规律，其运动轨迹是一个“隐”圆.

一、动点到定点的距离为定值

例1（2020·广东中考）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图1，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为                 .

知识储备：圆外一点到圆上点的距离最值

如图3，点C是圆外任意一点，直线CO交圆O于A、B两点，圆O的半径为r，则点C到圆O上点的最长距离是CB=CO+r，最短距离为CA=CO-r.

评析：问题中点E随着线段MN的运动，位置不断发生变化，抓住关键点直角三角形斜边中线等于斜边的一半，根据圆的集合定义“到定点的距离等于定长的点的集合是圆”，可知点E始终在以点B为圆心，2为半径的圆上作规律运动，构造一个“隐”圆，从而将动点问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题求解.

变式1：（2019·锦州）如图4，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A'MN，连接A'C，则A'C的最小值是        .

解析：如图5，由折叠的性质可得A'M=AM=1，即点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上.连接MC交圆M于点A'，由圆外一点到圆上点的距离最小值，可得A'C的最小值为A'C=MC-MA'，由勾股定理可以求得MC=  MD2+CD2 = 10，即A'C的最小值为A'C= 10 -1.

评析：由折叠的性质可得A'M=AM，不管点N移动到哪个位置，点A'到点M的距离都等于AM，点A'在做有规律的运动，根据圆的集合定义，点A'的运动轨迹是以点M为圆心，AM为半径的圆的一段劣弧.根据圆外一点到圆上点的距离最小值确定出A'C取得最小值时的A'位置，再通过勾股定理进行相关计算即可解决问题.

二、动点与两定点连线组成的角为定值

例2（2021·广东中考）在△ABC中，∠ABX=90°，AB=2，BC=3，点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为          .

评析：解决本题的关键是抓住动点D在运动中始终保持着与A、B两定点的连线夹角45°不变，根据圆的性质“同弧所对的圆周角相等”，动点D的运动遵循一定的规律，即在过A、B的圆上运动，运动轨迹为一段优弧.再通过勾股定理、圆周角定理等基础知识即可解决问题。

变式2：

（2019.沂源县二模）如图7，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE=CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为（  ）

解析：

如图8，连接BD，因为△ADC与△ABC关于AC对称，所以BC=DC，∠ACD=∠ACB=30°，则∠BCD=60°，求得△BDC是等边三角形，由题意易证△BDE≌△DCF，从而得到∠PBD=∠FDC，∠BPF=∠PDB+∠PBD=∠PDB+∠PDE=60°，所以∠BPD=120°，由于动点P在运动中保持∠BPD=120°，所以动点P的路径是一段以A为圆心，以AD为半径的弧，如图9，连接AC交弧于点P，此时CP的长度最小，CP最小值为CP=AC﹣AP=4-2=2.

評析：本题所包含的知识综合性很强，由于E、F分别是DC、BC上的任意一点，则点P的位置随着点E、F的运动而随之运动，但通过分析可得点P与两定点B、D连线所形成的夹角∠BPD=120°始终不变，由此可知点P的运动轨迹是以A为圆心，过B、D两点圆的一段劣弧，连接AC与圆的交点P，此时可求得CP的最小值。

上面通过实例说明当动点与两定点连线组成的角为定值45°和120°时，动点的运动是有一定的规律，其轨迹是一个“隐”圆。在练习中也会遇到动点与两定点连线组成的夹角是60°、90°、120°，或者任意角的定值时，动点的运动都是有规律的，其轨迹是一个“隐”圆。

三、结束语

初中几何中有关动点问题类型有很多，有时候需要将动态问题转化为静态问题来处理，有时候需要探究动点的运动规律，把握住其运动规律，确定出其运动轨迹，再利用相关的几何知识即可解决问题。

【参考文献】

[1] 李玲玲 . 对于“定线+定角”类隐圆问题的思考[J]. 数理化学习 ，2019（6）：31-36.

[2] 胡文涛 . 初中数学动态几何问题的教学难点及措施研究 [J]. 考试周刊 ，2019（96）：71-72.

[3] 龚琼莹 . 看似无圆 实则有圆 [J]. 教学案例， 2021（6）：56-57.