中考“面积问题”的教学实践与思考

问题是数学的心脏，学习数学的主要目的在于解决问题。好的数学问题应与学生的实际生活有着直接的联系，应当具有较强的探索性、现实意义和趣味性以及知识性。面积问题是数学知识结构中的“连结点”，其常结合一次函数、反比例函数、二次函数、三角形全等和相似、四边形、圆等初中数学核心内容成为考试试题。

一、认识：面积问题的类型

面积问题为学生提供了一个观察、分析、猜想并进行说理验证的探究模型，以图形的运动变化为策略，使学生能在一个动态的数学情境中感悟知识的发生和发展过程，探索问题的结论和规律的变化，真正理解图形的性质。

1.公式法

例1.如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧对应的圆心角(∠AOB)为120°，OC 的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为_____。

分析：在Rt△OBC中求出OB、BC，然后求出扇形OAB及△OBC的面积即可得出答案。本题考查了扇形的面积计算，解答本题关键是求出扇形的半径，熟练掌握扇形的面积公式。

面积问题，有的是直接计算面积，有的是以面积为条件求其他，更多的情况是由图形的运动引起图形的变化，从而建立面积函数关系。中考命题中如何从具体情境中抽象出数学材料，并将获得的材料符号化，体现基础性、应用性、实践性、开放性、探究性，这是中考数学试题的重要特征。

2.割补法

例2.如图，AE是半圆O的直径，弦，弦CD=DE=4，连结OB、OD，则图中两个阴影部分的面积和为____。

分析：根据弦AB=BC，CD=DE，可得∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可。

学习数学知识是学生主动构建知识体系的过程，学生只有通过自身的操作活动和主动参与学习的数学才是有效的。在学生动手操作、探究的过程中，逐步形成分析、判断、推理、归纳、表达等能力。

3.整体法

例3.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB=20，分别以CM、DM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中阴影部分的面积为____(结果保留π)。

分析：因为题目中没有告知⊙O1和⊙O2的半径大小，说明所求阴影部分的面积与其大小是没有关系的，这是一道选择题，在考试的时候，直接计算显然是不可取的，计算量大，费时且容易出错，可用特殊值法整体考虑求解。

二、实践：面积问题的解题策略

数学来源于生活，同时也必将应用于生活，学数学就是为了解决生活中所碰到的实际问题。近几年的中考题相当注重运用数学知识解决实际问题的考查，考查层次非常丰富，不同水平的学生可以充分展示自己不同的探究深度，以及综合运用数学知识、思想方法去探索规律、获取新知的能力。

例4.如图，直线l1⊥x轴于点A(2，0)，点B是直线l1上的动点。直线l2：y=x+1 交l1于点C，过点B作直线l3垂直于l2，垂足为D，过点O、B的直线l4交l2于点E。当直线l1、l2、l3能围成三角形时，设该三角形面积为S1，当直线l2、l3、l4能围成三角形时，设该三角形面积为S2。1.若点B在线段AC上，且S1=S2，则B点坐标为__▲__；2.若点B在直线l1上，且，则∠BOA的度数为__▲__。

分析：1.设B的坐标是(2，m)，则△BCD是等腰直角三角形，即可表示出S1，求得直线l1的解析式，解方程组即可求得E的坐标，则S2的值即可求得，根据S1=S2，即可得到一个关于m的方程从而求得m的值；2.根据，即可得到一个关于m的方程从而求得m的值，得到AB的长，从而求得∠BOA的正切值，求得角的度数。

“能使学生获得受用终生的东西的教育，才是最高尚最好的教育。”数学思想方法的教学，正是这样一件富有意义的工作。对于学生来说，不论将来从事什么工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法，可以随时随地会发生作用，使他们受益终生。