船用起重机吊索张力建模与计算机数值仿真

郑民民, 张秀凤, 王任大

(大连海事大学 航海动态仿真和控制交通行业重点实验室， 辽宁 大连 116026)

船用起重机是船舶自备的重要工程搬运设备之一。[1]自20世纪90年代以来，国内外学者就已开始对船用起重机开展相关研究。POSIADALA等[2]将起重机载荷系统简化为一个球摆模型，将吊杆激励引入吊摆模型，发现吊摆的激励运动是三维的，不能作为平面运动来分析。TODD等[3]对船用起重机进行物理试验之后得出起重机是典型的小阻尼系统的重要结论。史国友等[4]通过研究装卸过程中货物在空间运动的控制算法，并经OpenGL进行三维视景显示，实现重大件货装卸动态仿真系统。马博军等[5]采用保守型拉格朗日方法建立桥式起重机吊摆系统三维动力学模型，并对仿真结果进行分析。MASOUD等[6]提出将载荷系统视为空间球摆模型的方法，并对建立的模型进行船模试验，验证模型的准确性。芮光六[7]基于延时反馈控制理论得出一种能在原本不能进行作业的海况下起吊和传送货物的方法。文献[8]～文献[10]基于OpenGL和Unity3D等三维引擎研制开发起重机吊装卸作业的仿真系统。韩广冬等[11]分析起重机在海浪运动中的动态响应，并通过搭建的试验平台验证仿真结果的准确性。已有研究为起重机的单回转和单俯仰运动分析提供了有益的参考。但在起重机的多驱动机构耦合激励吊索张力和载荷空间运动轨迹等方面的分析并不充分。鉴于此，本文基于非保守型拉格朗日方程建立船用起重机操纵激励型三维非线性动力学模型和吊索张力模型，并通过数值仿真对起重机在起升与下降作业过程中其吊索的张力响应特性和载荷运动空间轨迹进行分析，从而为重大件装卸安全评估和载荷轨迹预报提供更多的理论支撑。

1 构建动力学模型

1.1 模型假设

由于船用起重机在实际运动过程中受多个因素的影响，其运动规律比较复杂，为方便建立起重机动力学模型，做以下假设：

1) 起重机吊臂和吊索均为刚体，无弹性形变。

2) 忽略吊臂和起重机吊索的质量。

1.2 载荷运动坐标系

以起重机旋转基座O0为原点，O0x0指向艏部为x轴正方向，O0y0指向船左舷为y轴正方向，O0z0指向上为z轴正方向，建立空间直角坐标系O0x0y0z0，见图1。图1中:O0A为吊杆臂，其长度为LB；以吊杆头A为原点建立平行于O0x0y0z0的吊点坐标系Axyz;α为起重机基座旋转角度;β为起重机吊杆俯仰面角;吊索在俯仰面所成角度θ1为面内角;吊索垂直于俯仰面作垂线所成角θ2为吊索平面外摆角;载荷P通过吊索l与吊头A相连。设吊头A的坐标为A(xA,yA,zA),载荷P的坐标为P(xp,yp,zp)。

图1 起重机坐标系定义

由图1中的几何关系可知，载荷P在惯性坐标系下的坐标为

(1)

结合A点在O0x0y0z0坐标系中的坐标可得到载荷P在惯性坐标系下的坐标为

(2)

1.3 运动方程

考虑到空气阻力摩擦力对载荷的干扰，选取θ1和θ2为系统的广义坐标，由拉格朗日方程可建立方程组[12]为

(3)

在惯性坐标系下对载荷P的坐标进行求导运算，得出载荷速度矢量坐标和系统动能T。设系统势能V是关于l、θ1和θ2的函数，τ1和τ2分别为面内角和面外角所受空气摩擦力。[13-14]通过求解式(3)，可得关于面内角加速度与面外角加速度的二阶微分方程为

(4)

(5)

2 吊索张力模型

根据牛顿第二定律可得载荷运动方程为

(6)

(7)

将式(7)代入式(6)中，可得

(8)

求解式(8)可得张力表达式为

(9)

3 起重机作业仿真试验

对式(4)、式(5)和式(9)进行数值仿真，分析船用起重机在耦合作业过程中的载荷运动空间轨迹和吊索张力变化情况。

3.1 回转运动对载荷运动和绳索张力的影响

图2 面内角θ1、面外角θ2变化曲线

由图2～图4可知:面内角幅值区间为[-0.075,0.090]rad,面外角幅值区间为[-0.042,0.042]rad,面内角响应幅值比面外角大，起重机回转运动能明显减小吊索张力幅值。在回转作业过程中，张力值的幅值区间为[9.784×103,9.852×103]N，张力较大值出现在仿真时间15 s时，张力值FT=9.852×103N，说明在回转运动结束之后，张力值存在数值突变的现象。

3.2 俯仰运动对载荷运动和绳索张力的影响

图5 面内角θ1和面外角θ2变化曲线

由图5～图7可知：在起重机俯仰运动过程中，面外摆角始终为0，表明单俯仰运动不改变面外摆角幅值，此时可将系统等效为单摆模型；俯仰运动中面内角幅值区间为[-0.135,-0.100]rad，与回转运动相比，俯仰运动过程中的角度幅值增大；作业过程中吊索张力值区间为[-0.998×104,1.018×104]N，与回转运动数值相比，张力数值较大；张力值在空间中分布在同一个平面内，最大值出现在俯仰运动激励的初始时刻。

3.3 回转、俯仰和吊索提升耦合作业对载荷运动和绳索张力的影响

图10 载荷空间轨迹及FT随轨迹变化曲线

由图8～图10可知：船用起重机在提升作业过程中，提升速度的增大对面内角和面外角有放大的作用。由图8中椭圆标记范围内面内角和面外交摆幅的变化可知:在提升速度下降之后，面内角和面外角的摆幅呈现出周期性的非线性变化，说明绳索的提升速度是维持吊索摆幅线性变化的原因。图9中张力值的变化区间为[0.931×104，1.107×104]N，起重机的回转与俯仰扰动降低提升过程中吊索的张力值。载荷平面轨迹可近似为长轴为13.537 m，短轴为11.137 m的椭圆。同时，吊索张力与吊索摆角并不同步，与吊索张力达到稳定值相比，吊索摆角存在一定的时间延迟。另外，由载荷空间轨迹和张力数据点可知：在提升过程中，载荷在空间内的轨迹半径增大，使得提升作业所需空间增大，吊索张力较大值主要集中在提升阶段结束之后的一段时间内，说明在提升过程中随着绳索逐渐变短，吊索所受张力值增大。

3.4 回转、俯仰及吊索下降耦合作业对载荷运动和绳索张力的影响

图11 载荷轨迹平面图曲线

由图11～图15可知:在船用起重机吊索下降过程中，下降速度的增大对吊索摆动幅值有明显的抑制作用。在作业过程中，吊索张力的衰减速度比吊索摆角的衰减速度快，吊索张力值区间为[0.929×104，1.028×104]N。对比试验3中的吊索张力值区间可看出，吊索下降运动能有效降低耦合操作过程中吊索张力的幅值。同时，回转和俯仰运动在试验4中增大了吊索的张力幅值,吊索下降速度降为0 m/s之后，吊索张力值出现短时间的突变现象。另外，张力空间分布云图表明吊索下降过程中张力的较大值集中出现在吊索长度较短时。载荷平面二维轨迹图可等效为短轴为0.346 m、长轴为0.708 m的椭圆如图15所示，对比试验3的载荷平面运动轨迹，可见吊索下降作业所占空间更小。

4 模型有效性验证

本文建立的模型相比以前的模型，考虑了空气摩擦力和起重机的回转与俯仰耦合运动，更为通用。由于文献[6]中MASOUD已建立精确的起重机模型(称标准模型)，并通过物理样机对其有效性进行验证，其模型为本文所建模型中LB=0时的特殊情况。因此,对2个模型在相同初始条件下进行仿真试验，结果见图16～图19。

由图16～图19可知：摆角幅度稳定之后标准模型的幅值为[-0.8,0.8]rad,面内角周期为10.8 s,面外角周期为10.9 s；本文模型稳定之后的摆角幅值也为[0.8,-0.8]rad，面内角周期为10.8 s,面外角周期为10.9 s。由于添加的阻力值不同，摆角收敛速度略有不同，但整体变化规律与文献[6]有较好的吻合性，整体变化趋势符合船用起重机的变化规律。

5 结束语

本文建立含空气摩擦力项的船用起重机操纵激励型非线性动力学模型和吊索张力模型，并通过数值仿真，分别对起重机的回转、俯仰、多指令起升和下降等作业过程的非线性动力响应进行研究，得到以下结论：

1) 在相同加速度激励下，俯仰作业时吊索所受张力比回转作业时更大。

2) 起升作业时吊索提升速度激励对吊索摆幅有放大作用；下降作业时吊索速度激励对吊索摆动幅度有明显抑制作用。

3) 在起升作业过程中，载荷空间运动轨迹半径比相同条件下下降作业过程中的载荷轨迹半径大。

4) 起升过程中起重机的回转运动和俯仰运动能明显减小吊索张力值，下降过程中会明显增大吊索张力值。

5) 提升作业过程中吊臂头附近的吊索张力值较大，绳长较短时吊索张力值较大。

6) 在下降作业过程中，当吊索速度降为0时，吊索张力值存在突变的现象。

本文通过数值仿真得到吊索张力值和载荷空间运动轨迹规律，对提升、下降控制器的设计以及提升船用起重机作业的安全性和吊装卸作业效率有指导意义。