数学文化融入《完全平方公式》的课堂教学实践研究

姜磊

1背景

1.1数学文化的意义和价值

课标明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分。”通过数学文化，教师可以丰富自己的教学知识储备。通过数学文化，让教师对于表达思想或解决问题的非传统方法、非常规方法更加宽容或尊重，使教师的数学素养得到提升。

1.2教科书里的完全平方公式和数学文化融入后的魅力

现行教科书遵照知识的逻辑顺序，从多项式乘法到乘法公式。完全平方公式作为特例呈现。却忽视了波利亚提出的教学三原则中的最佳动机原则，即完全平方公式是怎样得来的？为何完全平方公式要作为一个乘法公式来学习？完全平方公式有何作用？教科书中均未提及。因此，将数学文化融入《完全平方公式》——核心素养视角下的教学研究，呈现的是知识的完整性。让学生感知的是完全平方公式的必要性和意义、数学文化的魅力以及数学家们坚持不懈的探索精神，更重要的是对比古今，确立现代方法的价值。

2.教学设计与实施

2.1课堂实践

完全平方公式

数学文化融入课堂之处

（一）自主探索、获取新知

问题1：请大家根据所学知识去解决呢计算多项式的积，你能发现什么规律？

（1）（x+1）²= x²+2x+1

（2）（x-1）²= a²—2x+1

（3）（m+2）²= m²+4m+4

（4）（m-2）²= x²-4m +4

追问1：上述问题中相乘的两个多项式运算及结果有什么共同点？

追问2：左边相乘的两个多项式的各项与右边它们积中的各项有什么关系？

追问3：你能将发现的规律用式子表示出来吗？归纳公式：（a±b）²=a²±2ab+b²

追问4：你的猜想正确吗？

追问5：你能对发现的规律进行推导吗？

追问6：请同学们思考，为什么会有这样的结果呢？试着从它们的积

中发现特点。

（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab

追问7：你能用文字语言表达这个公式吗？

问题2：与平方差公式一样，我们能用几何图形解释完全平方公式吗？

请大家根据下图的（1）（2）中的面积说明完全平方公式。

数学文化融入课堂第一处

教师说明：公元前3世纪，完全平方公式以几何命题的形式出现在欧几里得《几

何原本》中。公元16世纪，韦达用字母表示数，这一里程碑式的进步，首次将完全平方公式简洁而明确的表示出来。这说明数学的发展是曲折的，并不是紧密衔接的。两千多年间，科学家们几经磨练，数学界发生了几次大的危机，才创立了今天完整的系统的初等数学。其中闪烁的不仅是智慧的结晶，付出的更有生命的代价，请同学们倍加珍惜得之不易的初等数学！请同学们学习数学家们身上那难能可贵、迎难而上、坚持不懈的探索精神！

（二）例  请看左边杨辉三角，并观察下列等式：

（a+b）²=a²+2ab+b²

（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴.

数学文化融入课堂第二处

杨辉三角、贾宪三角与帕斯卡三角

贾宪是我国北宋年间的数学家，贾宪发明的由数字所组成的三角形——开方作法本源图，就是我们所熟知的杨辉三角。杨辉是我国南宋时期的数学家。杨辉所著《详解九章算法》 中载有此图，使得贾宪成果得以保存，故后人称其为杨辉三角。在欧洲称为帕斯卡三角形，帕斯卡的发现比杨辉晚300多年，比贾宪晚600多年。学生会惊叹我国古人的数学智慧，感受数学历史的悠远和数学家们的探究精神。它是中国数学在宋元时期的一项杰出的创造。

（三）例.你能利用今天所学估算出面积为五的正方形，其边长约为多少吗？保留一位小数。

解：在2、3之间。比2大比3小？比2大多少呢？在没有符号代数，没有计算器的时代，只能利用几何图形表示估算正方形边长。设边长比2大x，可转化为若设（x+2）²=5，利用今天所学的完全平方公式（x+2）²=x²+4x+4。

显然4x<1，所以x<0.25，而4×0.2<1，所以x在0.2和0.3之间，只能取0.2

数学文化融入课堂第三处

不仅如此，更早的古巴比伦人早已知晓完全平方公式并利用完全平方公式估算正方形的对角线长，该公式的主要用途是求平方根、计算一个数的平方或解一元二次方程，这就是完全平方公式的真正起源。到了公元3世纪，我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，正是运用上述方法来解决“已知正方形面积，求边长”的问题，用相同的方法还可以接着估计其百分位、千分位。而现行教科书遵照知识的逻辑顺序把完全平方公式作为多项式乘法的特例呈现出来，更符合事物的认知规律，更有利于学生逻辑思维的培养。学生会体会现代数学的价值！

2.2、数学文化融入中学数学课堂教学的实践过程

（1）.選题与准备

（2）.研讨与设计

（3）.实践与评价

（4）.整理与写作

3.数学文化融入中学数学课堂教学的评价和反思

（1）.数学文化的教育价值与数学课程目标的完全吻合。

数学课程目标有四基、四能、核心素养、情感与信念。数学文化融入数学教学的教育价值有使学生体会到知识的伟大、探究的乐趣、方法的奇妙、文化的魅力，而通过数学文化融入数学课堂得到能力的提升，品德的提升，完全吻合。

（2）.教师文化素养大大提升

数学文化融入数学教学的实践与研究始终处于良性互动的过程之中，为教师成长提供重要的借鉴。

（3）.学生们的认可才是最有效的教育

通过课例的学习和调查问卷的数据发现学生的学习动力更足！

★ 本文系2021年河南省基础教育教学研究项目“数学文化融入中学数学课堂教学的实践研究”（课题编号JCJYB210303026）研究成果