中职数学三角函数最值问题分析

刘宝坤

【摘要】数学是职业院校的专业基础课.在工作实践中，笔者发现三角函数的最大值问题是教学难点之一.本文结合实践经验，对三角函数最大值问题的研究现状进行了分析，介绍了解决三角函数最大值问题的一些教学策略，希望为同行教学提供一些参考.

【关键词】中职数学;三角函数;最值问题

一、中职数学求解三角函数最值问题教学研究

（一）求解三角函数的最值问题的前提条件

1.了解三角函数性质和图像问题

要想快速准确地解答三角函数的最值问题，我们就必须熟练掌握常见的三角函数的性质和曲线形态，比如，对三角函数的对称性质、周期性质、单调性质、奇偶性质、取值范围、定义范围等有一个准确的了解，并能够利用函数来表达它们，体现基于图像描述函数性质的能力.

例 已知原函数为y=cos 2x，求将图像向左平移π4个单位，同时向上平移1个单位后的函数表达式.

解 把原函数y=cos 2x的图像向左平行移动π4个单位以后，就需要把函数当中的x转变成x+π4，也就是函数表达式变化为y=cos 2x+π4=-sin 2x的图像，紧接着把曲线向上平移1个数量单位，就得到了所求函数表达式：y=-sin 2x+1.

2.熟练掌握三角函数变形的方法

如果题目当中要求取三角函数的最大值，我们所面临的三角函数通常会是多个单一三角函数的组合相加或者相乘等，整个函数看起来相当复杂，所以我们需要学会对复杂函数进行变形，能够将函数化简.要掌握这种化简方法，首先需要熟练掌握三角函数的基本变形公式，比如和差公式、倍半公式等，继而归纳三角函数的变换方法，使求三角函数最大值问题的方法更加丰富.

（二）常用求解数学三角函数最值的方法

1.换元法

换元法是将复杂的函数问题转化为简单的函数问题，从而促进学生对数学问题的理解. 这种方法不仅限于三角函数的内部转换，还可以将非三角函数问题转换为三角函数问题.

例 三角函数为y=sin xcos x+sin x+cos x，求该函数最大值.

这道题的核心思路就是把三角函数求解最值的问题变换为二次函数的最值问题，进而使问题化简.

例 已知α为锐角，求函数y=1sin α+33cos α的最小值.

用换元法求y的最小值，先令t=sin α，则该式转化为y=1t+331-t2（0

f′（t）=-1t2+33t（1-t2）3，令f′（t）=0，求解得t=12∈（0，1），当0

f′（t）>0，此时函数f（t）是递增函数.所以当t=12时，f（t）取得最小值[f（t）]min=f12=8，因此，当sin α=12，y取得最小值ymin=8.

显然，这是一个非常有代表性的题目，对学生锻炼数学思维敏感性和逻辑思维能力很有帮助.学生只有充分掌握三角函数的基本概念和求解方法，才能掌握换元法解决问题的思想.

2.配方法

此方法是将公式中的一些定量项转换为一个或多个项，从而简化数学问题.

例 已知函数y=5sin x+cos 2x，求出这个三角函数的最值.

解 因为y=5sin x+（1-2sin 2x）=-2sin 2x+5sin x+1=-2sin x-542+338.

由于-1≤sin x≤1，所以当sin x=-1，也就是x=2nπ-π2，n∈Z时，ymin=-2×8116+338=-6.

当sin x=1时，也就是x=2nπ+π2，n∈Z时，ymax=-2×116+338=4.

针对三角函数的最值问题，利用配方的方法来解答有时能够事半功倍，在这里需要着重强调的是不要简单地把三角函数最值和求取二次函数最值相互等价起来，要注意转化后二次函数的值域.比如上面的例题当中，假如ymax=338，就會有等式sin x=54，就会有sin x大于1的矛盾出现，因此需要注意自变量的取值范围.

在三角函数范围的求解中，最常用的是配方法，因此学生应该掌握它.在职业数学课程中的二次方程式教学中，首次出现了用配方法解决问题的思想.三角函数最大值问题的求解中，也采用了配方法.因此，使用中最容易出现的问题是混淆三角函数和二次函数，教师应在教学中提醒学生注意这个问题.

3.单调性法

有一些特定的三角函数定义域比较广，仅仅利用函数图像是不能够很好地解答的，这个时候，通过函数的单调性能够方便地解答三角函数最值问题.

例 求y=sin x+2sin x（0

解 令sin x=t，则函数变为y=t+2t，考量其在区间（0，1]上的单调递减性.

因为0

4.利用多方法综合求解

例 求函数y=（sin x+1）（cos x+1）的值域.

分析 把题目中的函数多项式展开得到y=sin xcos x+sin x+cos x+1，此类型可以利用三角函数的有界性进行求解，因此可以设t=cos x+sin x，-2≤t≤2，再依据此思路逐步进行值域求解.

解 将y=（sin x+1）（cos x+1）展开，得y=sin xcos x+sin x+cos x+1，

设t=cos x+sin x，-2≤t≤2，则sin xcos x=t2-12.

此时y=t22+t+12=12（t+1）2，

所以y∈0，3+222.

二、中职学校学生学习三角函数的注意事项

（一）牢记三角函数概念和三角函数公式

针对三角函数最值的探究，最根本的就是要准确熟练地掌握三角函数表达式的图像以及三角函数的一些变形公式.掌握三角函数的基本表达式和相关的变形公式是快速解答所有三角函数问题的前提条件.在对学生进行三角函数教学时，要让学生对整个知识概念了如指掌，同时要让学生在脑海中构建一张有关三角函数的知识网络.如果学生能够达到这样的要求，那么他们在解答三角函数问题的时候，就能够选择适当的公式来把问题化简.

（二）熟练掌握常规题型解题程序

在职业中学数学三角函数最大值问题的教学过程中，因为三角函数中的繁杂题目一般都是把几个简单函数进行组合，为了准确快速地解答问题，教师首先要理解并掌握常见的基本知识、问题类型，然后将每个常规问题类型的解决过程进行不同层次的汇总，并在教学之前对其进行理解.

三、三角函数最值问题的教学与反思

（一）培养学生的数学学习主观能动性

由于三角函数最大值问题的探究相对比较乏味，所以需要教师通过正确的指导以培养学生对相关知识的兴趣，从而使学生产生主观能动性.教师要结合三角函数在实际工作生活中的应用，让学生产生想要学好三角函数的动机，并积极主动地开展预习和讨论三角函数问题.

（二）利用多维教学方法充实学生的数学基础知识

结合中等职业学校数学教学的实用性，并综合学生自身对基础知识的掌握情况，在三角函数最大值的教学过程中，教师应采用具有独特的职业教学特点的教学模式，利用多维教学方法，尽可能丰富学生的数学基础知识.

（三）结合三角函数教学的实践，不断优化知识记忆的方法

例如，在教学过程中，教师可以使用简单的绕口令来指导学生加强知识的记忆，如“奇变偶不变， 符号看象限”等，从而高效地引导学生深入领悟公式的推导以及应用.

（四）简化三角函数最大值解答流程，提升三角函数最大值求解水平

教师应充分总结三角函数最大值教学过程中的经验，不断创新，优化三角函数解题思路.最有价值的问题解决方案是最大限度地提高学生学习知识的能力.

四、结束语

总之，在中职数学的教学中，通过多种教学方法将三角函数问题进行详尽解答，使学生更好地掌握学習方法，是中职教师的终极教学目标.

【参考文献】

[1]殷振华.中职数学三角函数问题研究[J].数理化解题研究：高中版，2017（10）：26-27.

[2]王定.中职数学实施数形结合教学的四个路径[J].学周刊，2017（5）：87-89.