数学思想方法的渗透

李建军

【摘要】初中有理数在数学学习中是非常重要的，在初等数学中，这一章被称为奠基石，它是学生学习代数的基本，不仅内容非常丰富，而且数学思想方法也非常多，非常有利于在这方面对学生的培养。初中数学教师在教育教学中，不仅要传授知识、技能，还要渗透数学思想方法，培养学生数学意识，培养数学素质人才，非常有利于未来数学学科的长远发展。基于此，本文以初中有理数教学为例，分析了教学中的数形结合方法、分类讨论方法、转化思想、化归思想，进而在教学中有效渗透教学思想方法，以此来供相关人士交流参考。

【关键词】数学思想方法  初中有理数  教学  渗透

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章編号】2095-3089（2020）48-0037-02

在数学学科教育教学中，数学思想方法是非常重要的，教师在提出问题、思考问题、讲授概念、推导结论、总结规律等等这些过程中，通常都有数学思想方法的渗透，进而培养学生数学素养，锻炼思维方式的拓展[1]。对于学生对数学学科的学习，他们必须要具备一定数学思想方法，才能有效提高数学成绩，有利于未来持续发展，教师要在七年级的数学教学中，就有意识地渗透数学思想方法。而在初中有理数教学中，这种方法是比较丰富的，非常有利于教师展开教学活动，但同时，这种方式不容易直接被学生发现，这就需要教师发挥其引导作用，在日常教学中，注意对数学思想方法的渗透，还要经常运用这些方法，使学生做到有效掌握。

一、数形结合方法

“数形结合百般好，割裂分家万事休”是我国著名数学家华罗庚曾经说过的话，它通过将抽象的数进行具象化，使直观的图与抽象的数有机结合起来。数形结合可以更好地去把握问题的实质，避免一些简单错误的发生。

【例1】已知条件为：a与b之间距离为8，并且a与b互为相反数，a>b，要求：求出a与b的值。

在学生解答这道题的时候，很容易由于错误理解绝对值的概念，从而将答案写成±8，但是此刻教师若将数形结合的方法教给学生，引导学生做此类试题时借助画图进行分析，就能避免此类错误的发生。

在数学教学中，非常基本的概念就是数与形，对学生来书，数是非常抽象的，而图形非常直观，将两者有效结合起来就形成数形结合方法。在初中解决数学问题时，这种方法应用非常广泛，无论是教师还是学生，通过画图可以更直观对问题进行分析，使之简单化，更容易解决数学问题。教师在对有理数授课时，要有意识地培养学生对这种方法的应用，使他们形成画图解决问题的习惯，从而能够熟练运用这种方法。本章针对有理数进行分析时，借助了数轴用来描述，不仅非常直观形象，而且在有理数运算中，数轴也发挥了重要作用，充当工具角色，帮助学生分析问题、理解问题、解决问题。

【例2】若a>0，b<0，并且|a|>|b|，请你试着用“>”号表示a，-a，b，-b之间的大小关系。

分析：在对这种问题进行分析时，可以借助数轴来表示这些数，进而非常直观的就可以看出大小。由题意已知，a>0，b<0，所以在数轴中，a在原点右边，b在原点左边，而且因为a的绝对值比b的绝对值大，因此b离原点更近，a离原点更远，在数轴中标出来。同时，根据所学过的相反数概念，在数轴中标出-a，-b，又知道在数轴中，右边的数比左边的数大，从而非常容易就可以得出a>b>-b>-a。

在初中数学中，在绝对值、相反数等相关知识点的学习中，非常重要的数学思想方法就是数形结合，该法能够帮助学生理解题目含义，避免许多错误，并且在以后的函数模块学习中也会应用到该思想方法，在数学教学中有着极其重要的作用，所以教师在授课过程中，对于学生数形结合方法的应用一定要重点讲解，为学生之后的学习奠定基础。

二、分类讨论方法

在数学教学中另一种常用的数学思想方法是分类讨论法，像几何图形的分类、有理数的分类等。为加深学生知识理解的深度，帮助学生更好地理解知识点的内涵，掌握课堂知识的同时，更多地拓展相关知识，就需要教师着重帮学生掌握分类讨论方法。

分类讨论这种方法在数学中的应用，是在对问题进行解决时，为了更好分析问题，正确解决问题，要对此进行分析考虑，针对不同情况作出分类，然后一步一步进行解答，最后再将这些结果进行综合，就可以全面得出问题答案，作出回答。这种分类讨论，在解决某些数学问题时，非常关键，可以不遗漏某一种情况下的答案，可以帮助学生整理知识、理解知识，从而提高认知能力，数学思维得到有效发散。只有引导学生在解题过程中将问题可能出现的所有情况进行分类讨论，才能正确解决问题，值得注意的是，使用分类讨论方法时不能相互矛盾、重合。

【例3】若|a|=5，|b|=7，试求a+b的值。

分析：要充分考虑绝对值的概念，明确得出，a、b都有两个值，要考虑不同取值下的情况，所以针对这个问题，要进行分类，从而得出答案。

解：因为|a|=5，|b|=7，所以a=±5，b=±7

（1）当a=5，b=7时，a+b=5+7=12

（2）当a=-5，b=7时，a+b=2

（3）当a=5，b=-7时，a+b=-2

（4）当a=-5，b=-7时，a+b=-12

综上，a+b的值可能为12;2;-2;-12

【例4】试比较a与2a的大小。

分析：对于刚刚步入初中有理数学习范围内的学生来说，本题具有一定的难度与挑战性，有理数的学习，将他们的数域扩大到了负数，在他们最初的数字范畴内，只有正数，也就是a>0的概念，因此拿到该题，他们会很快给出2a>a的错误答案。

在解决该题时，教师应着重对学生强调有理数的概念，让学生意识到a不仅可以是正数，还有可能是负数或是0，引导学生解决问题时，运用分类讨论方法，将问题中a的可能性一一列举，分情况讨论a与2a的大小关系。即：①当a=0时，a=2a;②当a>0时，2a>a;③当a<0时，2a

通过这样的分类讨论，可以全面考虑每种情况，利用不同标准，使每种情况也不重复，全面分析了在绝对值中，有理数的正负号情况，进而更加清楚地解决问题，使之简单化，容易解决。

三、转化思想

将现有需要解决的难题转化成已经解决的问题或是较为简单的问题就是转化思想。换句话说，该方法是将未知的问题转化为已知知识，将复杂问题转化为简单问题的一种数学思想方法。

在有理数的运算中，转化思想应用得比较广泛。在对某些数学问题进行解决时，可能会面临新的未知问题，这时候就要进行转化，转化成学生熟悉的已知问题，将繁琐问題简单化，对于那些比较抽象的问题，学生不能很好理解的问题，转化成直观、简单、明了的问题。在初中数学应用中，可以说它是非常有实效性的，比较基础，可以很好地帮助学生解决数学问题。在有理数运算中，转化思想可以说是精髓，转化的过程就是运算的过程，比如除以一个数，可以当成乘以它的倒数;减去一个负数，可以当成加它的相反数。

分析：在这个有理数计算题中，有乘法，有除法，还有加法，一般要运用转化思想，将除法进行转化，转化成学生比较熟悉的乘法，接着再运用乘法法则，进行有效计算。

四、化归思想

对于化归思想，它也是数学问题解决中比较常用的一种方法，在解决问题的过程中，对陌生问题进行分析，利用转化，归结成一简单、熟悉的问题，从而充分调动以前学过的方法、经验、知识、能力，对此进行解决。通过化归思想，把问题做出一定转化，使学生有思路、有想法，更加简便地找到答案，解决问题。

【例6】21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，经过分析，2100个位数为6，22002个位数为4，请用这种方法进行分析，说出32005个位数为多少？

分析：学生可能觉得非常困难，可以引导学生找出规律，观察前四个数的个位数，接着观察再4个数的个位数，然后发现规律，是根据2，4，6，8进行循环，由此非常容易就可以得出答案。

五、集合思想

将符合统一条件对象集中到一起就是集合思想，使用集合思想可以让问题变得直观易懂。例如：可以将共青团看作一个集合，初一（1）班里所有的学生也可看作一个集体。

【例7】将下列数字放入相应的集合内

该题能够帮助学生充分理解集合思想，并且通过此类问题，能够加深学生对集合思想的印象。

六、逆向思维

将问题反方向思考就是逆向思维。

【例8】计算：2×4+2×1.5-2×（-2.5）

分析：首先整体观察该题，不难发现，在每个部分中都有共同的2，而我们之前学过乘法分配律a（b+c+d）=ab+ac+ad，将逆向思维运用进该规律中就可以转化为ab+ac+ad=a（b+c+d），所以就可将该题直接转为2×（4+1.5+2.5）=2×8=16。

七、类比思想

为了让学生能够进一步掌握更多的知识，可以通过类比思想，将不同知识之间的联系与区别进行归纳总结。

【例9】计算（2.8-0.5-1.7）×（-30）

分析：当学生初次遇到这类问题时，可以先让学生将小学阶段所学习过的乘法分配律回忆一下，再让学生自主思考，若是将题目中的“-30”换作是“30”，题目又该如何作答。我们升入初中后，进行有理数学习时，区别就是加入了负数的概念，但相同点是，无论是正数还是负数都可以使用同样的运算规律及方法，只不过处理方式略有差异，最关键的一点是将负数处理好。

八、方程思想

学生在初中数学的学习中开始进行由记忆型向理解型方向转型，同时该阶段内学生的理解能力也在不断提升，该阶段内为帮助学生更好地学好数学，可以逐步将方程思想教给学生，提升学生的理解能力，而利用方程将未知问题解答出来就是方程思想。

【例10】已知：a+5与b-3互为相反数，试求出8-2a-2b的值。

学生拿到该问题后，可以引导学生先以题中给出的已知条件为出发点，已知两个部分之间互为相反数，也就是这两部分的和为0，从而可以列出方程（a+5）+（b-3）=0，由此可以得出a+b=-2的结果，最后将（a+b）看作一个已知整体，代入题中进行计算。

即：8-2a-2b=8-2（a+b）=8-2×（-2）=12

综上可知，在初中有理数教育教学中，有着许多数学思想方法，可以更好帮助学生理解数学知识，解决数学问题，实用性非常强。教师在日常教学过程中，首先要对数学思想方法有一定重视，然后不仅要强调学生的数学知识、数学能力、培训运算技能，还要注意对这些方法的渗透，进而使学生在整个数学学习过程中，熟练掌握数学思想方法，并能进行灵活运用。通过数学思想方法的渗透，培养学生数学能力、数学素养，激发他们学习兴趣，提高课堂效率，还可以增强教学质量，达到预期效果。

参考文献：

[1]丁自瑶.交互式电子白板与初中数学课堂教学的整合探索——以《有理数的加法》第1课时教学为例[J].中国现代教育装备，2017（8）：61-63.