高等数学中一类幂级数求和函数的重要方法

吕海翠 宋佳 王艳丽

【摘要】在考研数学中求幂级数和函数是一个重要考点，也是教材中“无穷级数”的核心内容，可以用它来求收敛的常数项级数的和.而求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，教材针对这一问题只讲了一个例题，因而学生对这一问题感到困难，为此本文总结了一类基础有效的求幂级数和函数的方法，帮助教师进行更好的教学.

【关键词】高等数学;幂级数的和函数;方法

【中图分类号】G642【文献标识码】A

【基金项目】咸阳市科技局项目（2019k02-19）

培养出优秀的学生是一个学校发展的根本.老师应该传道受业解惑，负责把学生领进门，负责引导学生把知识学得有体系且融会贯通.教学是一个良心活也是一个技术活，要求老师负责敬业，知识过硬，解题灵活多变，会站在学生角度考虑问题.只有这样教师才会更有针对性地对学生因材施教，真正做到在教学过程中启蒙学生的探索精神，授之以渔.本文就求幂级数和函数分类型进行学习，其中题目均为经典题目，且在教学实践中也进行了应用，收到了较好的效果.

一、高等数学特点

高等数学有两册，学时需两个学期，知识点多，综合性强，且部分定义、定理、性质抽象，结论用时变形多，虽多但系统性强.两册高等数学其研究对象主要是函数，研究的是微积分.上册是一元函数的，下册是多元函数的，下册承载了上册.

二、求幂级数和函数的教学分析及设计

1.求幂级数和函数的步骤

在求幂级数和函数时，先求收敛域，这里面就综合了判定常数项级数敛散性的所有知识;然后可能会用到求导、积分、变量代换、拼凑、分解等知识，方法技巧多变.因此它是一个难度较大，技巧性较高的有趣数学问题，值得学生去探索.学生要多观察、细体会、勤总结，最终牢固掌握这类题.

2.经典举例

（1）类型∑△x△-1

例1求幂级数∑∞n=1nxn-1的和函数.

解因为limn→∞an+1an=limn→∞n+1n=1，所以收敛半径R=1.

当x=-1时，级数成为∑∞n=1（-1）n-1n，是发散的;当x=1时，级数成为∑∞n=1n，是发散的.因此收敛域为（-1，1）.

设s（x）=∑∞n=1nxn-1，x∈（-1，1）.

于是两端积分得∫x0s（t）dt=∑∞n=1∫x0ntn-1dt=∑∞n=1xn=x1-x，x∈（-1，1）.

两端求导得s（x）=x1-x′=1（1-x）2，x∈（-1，1）.

例2求幂级数∑∞n=1（n+2）xn+3的和函数.

解因为limn→∞an+1an=limn→∞n+3n+2=1，

所以收敛半径R=1.

当x=-1时，级数成为∑∞n=1（n+2）（-1）n+3，是发散的;当x=1时，级数成为∑∞n=1（n+2），是发散的.因此收敛域为（1，1）.

设s（x）=∑∞n=1（n+2）xn+3（-1

则s（x）=∑∞n=1（n+2）xn+3=x2∑∞n=1（n+2）xn+1，

记s1（x）=∑∞n=1（n+2）xn+1（-1

于是兩端积分，得

∫x0s1（t）dt=∫x0∑∞n=1（n+2）tn+1dt

=∑∞n=1∫x0（n+2）tn+1dt

=∑∞n=1xn+2=x31-x（-1

两端求导，得

s1（x）=x31-x′=3x2-2x3（1-x）2（-1

故原级数的和函数为

s（x）=x2s1（x）=3x4-2x5（1-x）2（-1

例3求幂级数∑∞n=1n2xn的和函数.

解因为limn→∞an+1an=limn→∞（n+1）2n2=1，所以收敛半径R=1.

当x=-1时，级数成为∑∞n=1n2（-1）n，是发散的;当x=1时，级数成为∑∞n=1n2，是发散的.因此收敛域为（-1，1）.

设s（x）=∑∞n=1n2xn（-1

则s（x）=x∑∞n=1n2xn-1=x∑∞n=1（nxn）′=x∑∞n=1nxn′，

记s1（x）=∑∞n=1nxn（-1

又s1（x）=x∑∞n=1nxn-1=x∑∞n=1（xn）′=x∑∞n=1xn′=xx1-x′=x（1-x）2

.

故s（x）=xs1′（x）=x（1+x）（1-x）3（-1

总结：∑△x△-1，其中△为n的多项式，如2n，2n-1，4n+1等，起始下标可以为n=0或n=1，即∑∞n=0△x△-1或∑∞n=1△x△-1，求幂级数和函数都可以采用此方法.例2，例3是变形后也是这一类，学生做完题目后仔细观察区别及联系，只有善于总结才能灵活应用.

（2）类型∑x△△

例4求幂级数∑∞n=1xnn的和函数.

解因为limn→∞an+1an=limn→∞nn+1=1，

所以收敛半径R=1.

当x=-1时，级数成为∑∞n=1（-1）nn，是收敛的;当x=1时，级数成为∑∞n=11n，是发散的.因此收敛域为[-1，1）.

设s（x）=∑∞n=1xnn，x∈[-1，1）.

于是逐项求导得s′（x）=∑∞n=1xn-1=11-x，x∈[-1，1），

两端积分得∫x0s′（t）dt=∫x011-tdt，x∈[-1，1），

即s（x）-s（0）=-ln（1-x），x∈[-1，1），

又s（0）=0，所以s（x）=-ln（1-x），x∈[-1，1）.

例5求幂级数∑∞n=1x3n+13n+1的和函数.

解limn→∞x3n+43n+4x3n+13n+1=limn→∞3n+13n+4|x3|=|x3|=|x|3.

当|x|3<1，即|x|<1时，级数收敛;当|x|3>1，即|x|>1时，级数发散.所以收敛半径R=1.

当x=-1时，级数成为∑∞n=1（-1）3n+13n+1=∑∞n=1（-1）2n·（-1）n+13n+1=∑∞n=1（-1）n+13n+1，是收敛的交错级数;当x=1时，级数成为∑∞n=113n+1，是发散的.因此收敛域为[-1，1）.

设s（x）=∑∞n=1x3n+13n+1（-1≤x<1），

则s′（x）=∑∞n=1x3n+13n+1′=∑∞n=1x3n=x31-x3（-1≤x<1）.

对上式从0到x积分，得∫x0s′（t）dt=∫x0t31-t3dt，（-1≤x<1），

即s（x）-s（0）=∫x0t31-t3dt，

从而可知s（x）=-x-13ln（1-x）+16ln（1+x+x2）+

33arctan233x+33-3π18（-1≤x<1）.

例6求幂级数∑∞n=0（2x+1）nn+1的和函数.

解令t=2x+1，题设级数变为∑∞n=0tnn+1.

因为limn→∞an+1an=limn→∞n+1n+2=1，所以收敛半径R=1.

当t=-1时，级数成为∑∞n=0（-1）nn+1，是收敛的交错级数;当t=1时，级数成为∑∞n=01n+1，是发散的.因此-1≤t<1，

从而∑∞n=0（2x+1）nn+1的收敛域为[-1，0），设s（x）=∑∞n=0（2x+1）nn+1（-1≤x<0）.

记s1（t）=∑∞n=0tnn+1，于是ts1（t）=∑∞n=0tn+1n+1.

上式兩边同时对t求导，得

[ts1（t）]′=∑∞n=0tn+1n+1′=∑∞n=0tn=11-t（-1≤t<1）.

再对上式从0到t积分，得

ts1（t）=∫t011-hdh=-ln（1-t）（-1≤t<1）.

当t≠0时，有s1（t）=-1tln（1-t）.而s1（0）=1，

所以s1（t）=-1tln（1-t），t∈[-1，0]∪（0，1），

1，t=0.

故s（x）=-12x+1ln（-2x），x∈-1，-12∪-12，0，

1，x=-12.

总结：∑x△△，其中△为n的多项式，如n+1，2n-1，4n+1等，求幂级数和函数都可以采用此方法.如例6是变形后也是这一类.

上面选择的六个例题很具有代表性，不仅能体现怎么求幂级数的和函数，还综合考查了积分的求法（如换元积分法、有理函数的积分都用到了）以及幂级数怎样求收敛域的所有类型.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]常庚哲，史济怀.数学分析教程（下册）[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2002.

[3]隋如彬.微积分[M].北京：科学出版社，2012.

[4]同济大学数学系.高等数学习题全解（下册）[M].北京：人民邮电出版社，2017.