不定积分凑微分法的教学探索

李瑞芬

【摘要】不定积分是高等数学教学中的重点内容，而第一类换元积分法（凑微分）又是不定积分中的一个难点.本文从第一类换元积分法的基本原理出发，重点分析将被积函数写成因子相乘的形式，然后对因子当中的复合函数进行研究，随后引入中间变量将复合函数变成基本初等函数来积分的过程.这种简明有效的教学方法可以帮助学生迅速接受并掌握凑微分，本文还详述了凑微分在换元积分、分部积分中的运用.

【关键词】不定积分;凑微分;乘法

在高等数学的课程中，一元函数不定积分的计算是微积分计算中的重要内容之一，是学习定积分、微分方程、多元函数积分学的基础.不定积分的求解方法主要有：直接积分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法、分部积分法四种.其中，凑微分法应用极其广泛，在换元积分法和分部积分法中，凑微分均是核心，是学生学习的重点和难点[1]，下面我们将对凑微分的教学方法进行进一步的探索.

凑微分法的基本原理为：设f（u）具有原函数F（u），即F′（u）=f（u），∫f（u）du=F（u）+C.如果u是中间变量，u=φ（x）且设φ（x）可微，那么根据复合函数微分法，有dF[φ（x）]=f[φ（x）]φ′（x）dx.从而根据不定积分的定义得：∫f[φ（x）]·φ′（x）dx=F[φ（x）]+C=∫f（u）du（u=φ（x））.

在实际教学中，学生往往对用凑微分原理解题理解困难.因此为了让学生能准确且更快地掌握凑微分，我们对第一类换元法中第一步把被积函数分解成因子乘积的形式进行强调再随之解题.由于同学们对基本初等函数的不定积分公式掌握得相对牢固，因此我们只要先把复合函数变形成积分表中的基本初等函数再来解不定积分的话就会容易很多.现在我们通过以下几个例题对这种方法进行详细的阐述.

由于凑微分方式灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分习题并不能给学生足够的启示，因此在讲解过程中我们将方法归结为三种，更便于学生掌握.

一、被积函数可化成若干个因子的乘积，研究其中的复合函数，进行凑微分

例1求不定积分∫2xex2dx.

分析被积函数直接是几个因子乘积的形式，且其中有一个是常数.常数因子可以不用考虑，因为常数可以直接提到不定积分的前面.剩下一个基本初等函数x，一个复合函数ex2.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基本初等函数，即令x2=u，则ex2=eu，那么原题当中的积分变量就由x变成了u，为了保证变量的统一，剩下的2xdx需要凑成du.而我们发现du恰好等于2xdx，故解题过程如下.

解∫2xex2dx=∫ex2dx2=∫eudu=eu+C=ex2+C.

例2求不定积分∫cosxsin2xdx.

分析被积函数是乘积的形式，且其中一个是基本初等函数cosx，另一个是复合函数sin2x.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基本初等函数.即令sinx=u，则sin2x=u2，那么原题当中的积分变量就由x变为u了，为了保证变量的统一，剩下的cosxdx要凑成du.而我们发现du恰好等于cosxdx.

解∫cosxsin2xdx=∫sin2xdsinx=13sin3x+C.

例3求不定积分∫sinxxdx.

分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为sinx乘1x，其中只有sinx为复合函数，故令x=u，则sinx=sinu，剩下的1xdx需要凑成du.

解∫sinxxdx=2∫sinxdx=-2cosx+C.

对于凑微分解题，刚开始的时候老师可以和同学们强调上述解法，也就是把被积函数写成几个因子乘積的形式，接下来研究是复合函数的那个因子，剩下的因子和dx凑成du.等学生熟练了之后再引入公式，他们接受起来就会容易很多，从而避免了对凑微分公式的死记硬背.

对于简单的被积函数可以这么做，但是对于复杂的被积函数，也就是被积函数当中不止一个复合函数的，应该怎么做呢？先来看如下两个例题.

例4求不定积分∫（arctanx）3x（1+x）dx.

分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.

（arctanx）3乘1x乘11+x.写成乘法之后，被积函数虽然是三个因子乘积的形式，但是只有（arctanx）3是复合函数.而1x是基本初等函数，11+x是简单函数.故研究（arctanx）3，但是这个函数是由三层函数复合而成的，故我们要引入两个中间变量把它逐步变成基本初等函数.但是这里需要注意的是要从内到外依次改变积分变量.

解∫（arctanx）3x（1+x）dx=∫（arctanx）3·1x·11+xdx=2∫（arctanx）3·11+xdx=2∫（arctanx）3darctanx=12（arctanx）4+C.

例5求不定积分∫ln2tanxcosxsinxdx.

分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为ln2tanx乘1cosx乘1sinx.这三个函数均为复合函数，那么我们应该选取哪个复合函数进行研究呢？这里我们归纳总结，遵循一个原则：选取复合层数最多的，也就是最复杂的那个复合函数进行研究.这里选取ln2tanx进行研究.这个复合函数是由三层函数复合而成的，和例4一样，根据从内到外的原则，分别用凑微分将其解出.具体过程如下：∫ln2tanxcosxsinxdx=∫ln2tanx·1cosx·1sinxdx=∫ln2tanx·1tanxdtanx=∫ln2tanxdlntanx=13ln3tanx+C.

由此可见，在用凑微分解不定积分的时候，将被积函数转化成乘积的形式再来求解，学生更容易掌握，且避免了传统的对公式的死记硬背的方法.针对被积函数的形式和特点，我们归纳出以下几种选择方法和技巧.

1.被积函数只有一个复合函数时，引入中间变量，将复合函数变成我们熟悉的基本初等函数，再来求解.

如：∫（4x+3）2dx=14∫（4x+3）2d（4x+3）=112（4x+3）3+C.

2.被积函数是几个函数相乘时，只需研究其中的复合函数.如例1，例2.

3.被积函数是几个函数相乘除时，将被积函数统一写成相乘的形式，再来研究它们之中的那个复合函数.如例3，例4.

4.被积函数为多个复合函数相乘的时候，选择复合层数最多的也就是最复杂的那个复合函数进行研究.需注意的是由内而外分别进行凑微分.如例5.

二、变量代换法中的凑微分

变量代换法主要用于被积函数中含有根式的情况，我们解题时一个重要的思路就是将未知向已知转化，故解决此类问题的首要任务是用变量代换将根式化成整式，化成我们熟悉的形式，再来求解.在化成整式后的求解过程中，凑微分又是一个主要的解题思路.

例6求不定积分∫1x+3xdx.

分析令3x=t，则x=t3，dx=3t2dt，于是原积分可化为

∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt.到这一步为止，又变成了我们熟悉的形式，故将除法写成乘法的形式，研究被积函数当中的复合函数，再来求解.

解∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt=3∫1t2+1·tdt=32∫1t2+1d（t2+1）=32ln（t2+1）+C，最后将变量t换成3x即可.

三、分部积分法中的凑微分

分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式的不定积分，分部积分法关键是凑微分，将f（x）拆分成uv′.如求∫xcosxdx.设u=x，dv=cosxdx=d（sinx），∫xcosxdx=∫xd（sinx）=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C，则容易求解.在实际教学中我们总结出一个比较实用的方法：对拆分成乘积的两个函数求导数，若求导后函数类型发生变化则选此函数为u，若类型没有发生变化则选此函数为v′，两个函数类型均未发生变化则任选一个作为u即可，从而總结一个口诀“三指动，反对不动”，即三角函数、指数函数可以作为v′，反三角函数、对数函数不能作为v′.

例7求不定积分∫excosxdx.

分析被积函数为excosx，而（ex）′=ex，（cosx）′=-sinx，求导后函数的类型均没有发生改变，仍为指数函数和三角函数.故根据上文总结，可任选一个函数作为v′.这里不妨取ex为v′.

解∫excosxdx=∫cosxdex=excosx-∫exd（cosx）=excosx+∫exsinxdx

=excosx+exsinx-∫exdsinx=excosx+exsinx-∫excosxdx，

再将式子中的∫excosxdx移项、合并，即可得∫excosxdx=12ex（sinx+cosx）+C.

此种方法实用性较强，但在各方面亦具有一定的局限性.

如求解不定积分∫x2exdx，被积函数为x2和ex，（x2）′=2x，（ex）′=ex.求导后的函数类型没有发生变化，故可任意选取一个函数为u，但通过求解发现并非如此.

解法1∫x2exdx=13∫exd（x3）=13x3ex-13∫x3exdx=13x3ex-112∫exd（x4）（陷入无限循环）.

解法2∫x2exdx=∫x2d（ex）=x2ex-2∫xexdx=x2ex-2∫xd（ex）=x2ex-2xex+2∫exdx=x2ex-2xex+2ex+C（简单明了）.

为了解决此类缺陷，我们再给出一个选取u及v′的简单方法：将被积函数化成两个函数相乘的形式，按照“反对幂指三”或者“反对幂三指”的顺序，优先选取u.如求解不定积分∫x2lnxdx，被积函数为幂函数和对数函数的乘积，故应选取对数函数lnx为u，即可解出.分析分部积分法中选取u的两种方法，各有利弊.第一种方法利用凑微分，使学生的发散思维得以拓展，但对于某些题目不能应用.第二种方法简洁且应用广泛，但在一定程度上限制了同学们发散思维的培养.因此在实际教学过程中，教师应当将上述两种方法相互结合、补充，使教学效果最大化.

综上，在不定积分的求解中，凑微分方法非常重要，学生应该领略凑微分的精髓，从而体会微积分的系统性，感受微积分的魅力.

【参考文献】

[1]熊欧.不定积分凑微分法的教学新探[J].数学学习与研究，2018（21）：10，12.

[2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京：北京大学出版社，2003.