高中数学学习中应用函数与方程思想分析

范粤

摘 要：分析高中数学学习中应用函数与方程思想。首先分析出函数与方程思想的特征，无论是函数思想还是方程思想，都可以让繁杂的数学关系条件更加清晰化和简单化，具有一定的条理性。其次分析出函数思想与方程思想的关联及其有效应用方法，可以进行函数与方程的相互转化，解决不等式和数列等问题，从而得出，只有学生具备良好的函数和方程思想，才能迅速找到解题的技巧和方法，更为准确地解答出实际问题，促进学生的数学水平和解题能力的提升。

关键词：数学学习;函数思想;方程思想;数学思想

对于数学知识来说，其函数思想博大精深，这对学生的数学学习是一个巨大的挑战。可以说，应用函数与方程思想，能够更深层次体现数学学习中的数学能力与数学本质。也可以说，在对数学知识规律进行探究的漫长过程中，蕴藏着数学知识的生成和发现，这也是学生学好数学的关键。因此，只有学生具备良好的函数和方程思想，才能迅速找到解题的技巧和方法，更为准确地解答出实际问题，促进学生的数学水平和解题能力的提升。

一、函数与方程思想的特征

（一）函数思想

函数，是描述事物变化规律的一种动态模型。可以说，函数思想就是在变化中寻求动态的不变，把实际的数量关系改变为函数关系，或者直接构造一个函数。同时，再通过所创建的函数关系性质、函数图象来分析抽象复杂的问题，将其化繁为简，得以顺利解决[1]。所以，高中学生在解决函数问题时，要有函数思想，按照思维逻辑来构建整个解题思路，更为轻松地应对各种函数问题，掌握好解题的关键，从而达到解决问题的目的。

（二）方程思想

通常情況下，数学的所有思维活动，都是建立在数学思想的前提条件下。换句话说，解决数学问题，不仅需要准确地计算，对数学公式进行处理，还需要将整体的步骤都创建在数学思想上[2]。因为，真正的解题方法，并不是写对解题步骤就行，还要具有一定正确的解题思路，也就是数学思想。可以说，数学方法的应用，是在数学思想中得以体现，因此数学思维是数学的关键和核心。

方程思想，是通过分析数学问题中的变量，掌握其中直接的、间接的关系。并将隐藏的条件或者表现出的实际关系，通过方程、方程组的形式，在具体解题过程中呈现出来。从而，让繁杂的数学关系条件，更加清晰化和简单化，具有一定的条理性，更加顺利地解决数学问题。

二、函数思想与方程思想的关联

（一）函数与方程性质

函数思想，是需要建立在函数的性质上的，是对函数的图形进行分析，这也是函数思想的核心内容。因此，借助函数的性质，可以根据实际数学问题去轻松地找出题目中的所给信息，再将问题进行转化，变成函数方程题。并且，根据函数的图象性质，可以在方程转变函数问题时，判定解决问题的条件，这样将求解的方程根结合函数问题，在很大程度上提高了解题的效率，有助于快速理清解题的思路[3]。所以，用最简单的方法解决最为复杂的问题，才是函数的意义和价值。

方程思想，是建立在函数的关系前提下，明确与之相关的函数表达式，来展开全面的分析，来正确解答问题。换个形式来说，也就是将函数问题，转变为方程问题。比如，函数的值域问题、圆锥曲线问题等，都可以将y=f（x），转化为f（x）-y=0进行解题，从而确保整体解题过程的快速、顺利。

（二）函数与方程联系

在高中数学学习中运用函数思想，主要就是采取函数的概念、性质和图象，包括函数转换、创建函数和构造函数。其中，将函数问题转化为方程或者方程组，去找寻问题中变量之间的等量关系，来借助方程思想解决问题[4]。所以说，函数思想与方程思想之间的联系十分紧密，可以根据实际的数学问题，相互转换来达到正确解决问题的目的，促使解题的效率和准确性得到提升。

三、高中数学学习中应用函数与方程思想的方法

数学函数思想，是高中数学学习中比较实用的方法。比如方程题和不等式题等相关题型都可以将其转换成函数问题进行解决。可以说，运用函数思想解题，就是为问题的解答创造条件。首先，因为高中的数学函数问题多种多样，例如比较常见的二次函数、指数函数和分段函数等，所以借助函数方程思想，就可以按照解函数的方程、解答参数方程、探究方程解题、构造方程解答，作为实践应用的步骤。

另外，在解题过程中，通过方程的性质去思考解题步骤和思路，也就是方程思想的运用。可以说，方程思想就是将问题中存在的逻辑关系转换为公式，主旨是方程联系函数，两者相互结合解决问题[5]。所以，只要学生能够发现两者之间的联系，掌握一定的解题技巧和方法，所有的难题都会迎刃而解，从而，在很大程度上提高了学生的数学解题能力和效率。

四、高中数学学习中应用函数与方程思想有效策略

（一）函数与方程的相互转化

在高中数学学习过程中，大部分情况下，函数与方程可以相互转化。但是，在实际转化过程中，需要注意函数的定义域，或者是在函数定义域确定的情况下，运用待定系数法解决问题时，要考虑到函数的类型，从而完整且科学地解决问题，得到最为正确的答案[6]。通过函数与方程的有效转化，能够充分发挥出方程的优势，实现函数与方程的统一，为学生解决复杂的函数和方程问题提供了更为灵活丰富的方法，活跃学生的数学思维，促进学生的解题能力和学习效率得到提升。

例题：已知函数f（x）=ax-x-a（a>0，且a≠1）有两个零点，求实数a的取值范围？

解析：本题是关于a的方程，已知两个实数根，将其代入，就可以得出两个函数，并根据函数的性质，逐一进行函数的构造即可。

解答：∵函数f（x）=ax-x-a（a>0，且a≠1）有两个零点，∴方程ax-x-a=0。有两个不相等的实数根，即两个函数y=ax与y=x+a的图象，有两个不同的交点，当01时，两个函数的图象有两个交点，符合题意，∴实数a的取值范围是（1，+∞）。

（二）不等式问题

对于高中数学学习来说，不等式是其重要的一部分。因此，当学生在不等式学习时，就可以借助函数与方程思想，将不等式转化为函数图象，或者转换为方程，运用函数与方程的性质，来进一步分析和解决不等式问题[7]。可以说，函数与方程思想，在不等式的问题中应用，不仅能够帮助学生将所学的数学知识有效地串联，还能强化学生对数学知识之间的联系，促使学生更为深层次地理解不等式，增强学生的不等式解题能力。从而，实现学生的高效学习。

解析：此题若直接求解，相对复杂且容易答错，所以结合函数的性质，去建立函数的图象来求解，充分体现出函数与方程的思想，其结果也就一目了然。

（三）数列问题

高中数学的数列问题，可以看作是一种定义域特殊的函数。其中，等差数列分布在一条直线上，等比数列分布在指数函数图像上。因此，学生在解答数列问题时，就可以运用函数与方程的思想，来强化学生对相关数列问题的深层次理解，促使学生进一步抓住数列的本质和规律，将数列知识真正内化和记忆，从而更好地解决实际的数列问题[8]。

因为本题给出的条件和数据都比较新颖，所以将两个条件进行等差数列、等比数列的构造，并能够解方程组顺利求出{an}和{bn}的通项公式。从而，运用函数与方程的思想进行数列知识的进一步探究，并有效地解决有关数列的实际问题，通常情況下会比直接代数的方法更简单且高效。

综上所述，在高中数学学习中应用函数与方程思想，能够实现学生的高效学习，有助于学生掌握灵活多变的解题技巧和方法，逐渐积累丰富的数学解题经验和思想，可以熟练地借助函数与方程思想解决和学习数学知识，确保学生将知识真正地理解与内化。所以，只要学生能够发现两者之间的联系，掌握一定的解题技巧和方法，所有的难题都会迎刃而解，在很大程度上提高了学生的数学解题能力和效率。从而，促使学生进一步抓住数学知识的本质和规律，让繁杂的数学关系条件更加清晰化和简单化，具有一定的条理性，从而更加顺利地解决数学问题。

参考文献：

[1]林丽娟.函数与方程思想在高考解题中的应用[J].考试周刊，2018（80）.

[2]靳祥利.浅谈高中数学中函数和方程思想的应用例证[J].中国校外教育（基教版），2017（6）：60，68.

[3]贾科.在高中数学学习中应用函数与方程思想的探究[J].数理化解题研究，2018（31）：5-6.

[4]涂钊榕.高中数学中函数与方程思想的研究[D].福州：福建师范大学，2012.

[5]高慧明.数学思想方法系列讲座（2）：函数与方程的思想[J].湖北教育（教育教学），2019（3）：18-20.

[6]付星哲.高中数学函数与回归方程的学习路径探讨[J].高考，2019（3）：190.

[7]段婕睿.化归思想在高中数学函数学习中的运用分析[J].中华少年，2018（1）.

[8]罗永华.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].中学生数理化（学研版），2017（1）.

编辑 杜元元