谈谈函数概念中的三要素

刘红漫

摘 要：理解函数的对应法则，用构造法、换元法求解函数解析式;求函数定义域的一般方法，求与已知函数有着相同对应法则的函数的定义域，求复合函数的定义域;通过求反函数的定义域求原函数的值域，通过x的有界性求函数的值域。

关键词：对应法则;定义域;值域;构造法;换元法;复合函数;有界性法

函数概念是中学数学教学的重点。它揭示了其定义域、值域及对应法则这三要素之间是相互联系、相互制约的。正确认识函数概念中的三要素，是树立函数思想，用函数方法解决有关问题的关键。

一、函数的对应法则

函数的对应法则，决定了函数y与自变量×之间的关系，它是函数概念的核心。下面的例子可帮助大家更清楚地认识函数的“对应法则”。

如：已知函数f（x+1）=x，求f（x）。

这里我们先应找到“对应法则”，其“对应法则”是：函数y对应自变量减去1，即f：：x+1→x，自然有f：x→x-1，即f（x）=x-1。由此也可得到f（t）=t-1，即f（x）=x-1.

这样，我们便得到了解决此类题型的典型方法;构造法、换元法。

例：已知f（x+1）=x2-1，求f（x）

解法一（换元法）设t=x+1，则x=t-1

∴f（t）=（t-1）2-1=t2-2t，即f（x）=x2-2x

解法二（构造法）

f（x+1）=x2-1=（x+1）（x-1）=（x+1）（x+1-2）

∴f（x）=x（x-2）=x2-2x

二、函数的定义域

函数的定义域是自变量x的取值范围，它取决于确定函数关系的对应法则。

（一）求函数定义域的一般方法

在求函数的定义域时应遵循以下几个原则

（1）分式中分母不等于0

（2）偶次根式被开方数非负（即大于等于零）

（3）零次幂中底数不等于零

（4）在对数式中真数大于0;底数大于0且不等于1

求函数定义域有两种表示方法：集合形式、区间形式。

例：求函数        的定义域

解：函数需满足

∵ <1   ∴x2-5x+9≤3

得2≤x≤3，故得函数的定义域为[2，3]

（二）求与已知函数有着相同对应法则的函数的定义域

有的函数，它们有着相同的对应法则，但它们却是不同函数，如f（x）与f（x+2）

例：已知f（x）的定义域为[0，1]，求E（x）=f（x+2）的定义域

分析：

（1）函数f（x）与f（x+2）有着相同的对应法则

（2）函数f（x）是以x为自变量，而f（x+2）是以x+2为自变量

由此可得：0≤x+2≤1 ∴-2≤x≤-1

∴E（x）的定义域为[-2，-1]。

注意：

不要将题目错误地理解为：已知0≤x≤1，求x+2的取值范围

（2）不妨设      ，其定义域为[0.1]，

则         的定义域为[-2，-1]，这个具体例子能更好地帮助我们加深对上述例题的理解。

又如f（x）的定义域是[0，2]，求函数      的定义域，这道题可用以上类似方法求解。

（三）求复合函数的定义域

复合函数y=f[g（x）]中，内层函数u=g（x）的值域等于外层函数y=f（x）的定义域，若已知函数y=f（x）的定义域，可求得f[g（x）]的定义域，反之亦然。

例：已知f（x2）的定义域为[-1，1]，求f（log x）的定义域。

分析：当x∈[-1，1]时，内层函数u=x的值域为[0，1]，就是外层函数f（x）的定义域，而由u=log：x的值域等于外层函数的定义域得到0≤log x≤1，∴ ≤x≤1，所以函数的定义域是[ ，1]

另外，在实际应用中，函数的定义域应根据问题本身的实际意义求得。

三、函数的值域

函数的值域是由定义域和对应法则决定的

（一）通过求反函数的定义域求原函数的值域

比较函数y=f（x），x=f-1（y）.y=f-1（x）之间的异同

即反函数的定义域就是原函数的值域。

如：求             的值域。

（二）通过x的有界性求函数的值域

函数中两个变量x，y是相互制约的，由x有界，可求y的取值范围，y有界，可求x的取值范围，由此形成求函数值域的另一种典型方法：有界性法。

例：求    （x≥0）的值城

解：将原式变形得    ，

由x≥0知：  ≥0，即1

∴函数值域为（1，2]。

由以上知，函数y=f（x）可以看作是一个含字母y的关于x的方程，函数的值域就是这个方程有解的条件。

例：求    的值域。

解：将方程变形为

即函数的值域为（-1，1）

又如求     的值域，也可用类似方法求解。

总之，函数的定义域、值域、對应法则三者之间是紧密联系的，但它们也有着不同的内涵，在解题过程中，我们需不断加深对它们的认识，不断发现新问题、探索新方法，为用函数方法解决有关问题奠定坚实的基础。