研讨式教学法在极限教学中的运用

宁效琦

摘 要：主要介绍了研讨式教学法在微积分教学中的运用，通过具体介绍数列极限定义教学中的研讨式教学方法，使大家进一步认识到该教学方法在教学特别是数学教学中的有益之处。

关键词：研讨式教学;微积分;极限

极限是微积分学的基础，微分与积分正是借助极限定义得来的。因此，在一般的微积分教材中，最先介绍的就是函数极限的知识。但是，极限的微积分定义极具抽象性，使学生在初次学习时难以理解，从而丧失继续学习微积分知识的兴趣，进一步影响学习的信心。正是这个原因，使得极限内容的教学显得尤为重要，怎样使学生更容易接受和理解极限的概念，特别是掌握极限的微积分定义（ε定义），正是本文所探讨的主要内容。

在高等数学教材中介绍函数极限时，先以数列极限作为对象，我们可以采取如下研讨式教学的方式与学生共同探讨得出数列极限的“ε-N”定义。

首先通过研讨式教学得到数列的定义。我们知道没有数列，就没有数列的极限。为此，我们可以先举出实例，与学生一起围绕项数与项的对应关系讨论：“数列的定义是什么？”进一步考虑“数列可以看成函数吗？其定义域是什么？”通过以上问题的思考，引导学生归纳总结得到数列的定义，并进一步明确项数与项的对应关系，帮助学生理解数列是特殊的函数，从而对于任一数列  ，更能体会记号       的含义。

接下来应用研讨式教学讨论数列的极限。知道了数列的定义，接着就要考虑数列的极限问题。那么，什么是数列的极限，它考虑的是数列的什么性质呢？老师先举出一些具体的数列，如：                  。然后，和学生一起借助数列的几何意义，探讨这些数列的变化趋势。也就是让学生考虑项数无限增大时   ，相应的项的变化情况是什么

？进一步引导学生理解：数列的极限问题就是考虑数列的变化趋势问题。也正因为这样，数列极限问题是一个动态变化过程的问题。

通过以上具体数列变化趨势的探讨，进一步引导学生将数列的变化趋势的结论归为三类：一类是随着项数无限增大

，项无限趋于唯一确定的常数    ;另一类是随着项数无限增大     ，项无限增大     ;再一类是随着项数无限增大    ，项无稳定的变化趋势。从而与学生共同观察发现得到：在这三种变化趋势中效果最好的，朝着唯一确定的常数变化的趋势就叫做数列有极限（或收敛），其余均叫做数列无极限（或发散）。

最后运用研讨式教学得到数列极限的ε定义。下面，就可以与学生一起讨论数列极限的ε定义了。首先，举出实例  与   ，以 与   当   时极限为0为例，借助数学软件给学生展示当   时， 与   无限接近于0的这个极限过程。让学生从宏观上理解极限，然后让同学们讨论任意给出的一个数列  有极限的描述性定义：

当项数n无限增大时，项xn无限趋于唯一确定的常数a.

接下来，我们继续结合上述实例，与学生共同探讨数列极限的精确定量的ε定义。

第一步与学生研讨数列极限的描述性定义。与学生一起对照实例研读极限的描述行定义，使他们知道“当项数n无限增大时”是前提，“项xn无限趋于唯一确定的常数a”是结果，定义分为两段却又为一整体。

第二步分段量化数列极限的描述性定义。在与学生探讨距离问题、参照物问题等实例的过程中，可以将定义中的结论“项xn无限趋于唯一确定的常数a”量化为“对任意ε>0，总有

成立”。然后，从因果关系出发，通过对具体数列  与

中的ε分别取不同的值，与学生进一步探讨，要有定义中的结果，必须以“当项数n无限增大时”为前提，从而量化为“存在某一N>0，当n>N时”。这样就实现了数列极限定义的精确量化。

第三步得出数列极限的ε定义。学生们在老师的指导下，通过以上的探讨得到任意给定的数列  极限的精确定量的ε定义[1]：

（正整数），使得n>N时，恒有    成立，则称  以常数a为极限，记为     ，或者      。

并且，在结合实例的讨论中，还可让同学们思考如下问题：符号ε、N怎样理解，有什么关系？N唯一吗？kε，ε2，  等

ε是否一样？是由哪个性质决定的？ε是否可以加以限制？ε是否可以取特殊值？ε是由哪个性质决定的？N为什么只强调存在性？式子     是多少个不等式？几何上如何解释？进一步加深学生对ε定义的理解。

在课堂上，教师通过问题与教学环节的适当设置，使学生以极大的兴趣参与到教学中来，大胆的发表自己的想法，主动积极的思考问题，真正成为课堂知识学习的主体。教育的目的并不是要让学生机械被动的接受知识，最重要的是让学生对学习抱有兴趣，学会思考，积极提出问题，认真学习相关知识，进而解决所遇到的问题。在微积分中，研讨式教学法可以实现让学生主动学习的目标，使得学生对微积分的学习不再畏惧，敢想敢学，更能培养他们提出问题、分析问题、解决问题的能力。因此，研讨式教学方法的推广使用将有助于学生学习效果的提高，从而为国家培养出更多的优秀人才，促进祖国的建设发展。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.微积分[M].北京：高等教育出版社，1999.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]国防科学技术大学理学院.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版，2007.

[4]复旦大学数学系.数学分析（上册）（第三版）[M].北京：高等教育出社，2011.