高等数学数值逼近解题思路和应用探讨

侯园

摘 要：数值逼近是高等数学中非常重要的组成部分，更是高等数学解题过程中经常使用的一种方法。本文将对高等数学中数值逼近的解题思路进行分析，从而提供有效的策略，提升学生对学习数值逼近解题方法的兴趣，攻克更多高等数学中出现的问题。

关键词：高等数学;数值逼近;解题思路

中图分类号：G712           文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2020）19-050-1

数值逼近是高等数学解题中的一种方法，通过该解题方法可以有效简化数学当中的内容，将复杂的问题简单化。特别是学生在解题过程中，有时会无法在快速的时间内找到习题的正确数值，可以运用高等数学中数字逼近的方式，解决相关问题。教师在教育的过程中，更应注重学生对数字逼近解题法的运用，使学生可以利用该方式让复杂的题型简单化，从而激发学生学习数学的兴趣，提高解题的效率。

一、数值逼近解题思路的教育意义

在高等数学解题过程中，运用数值逼近的解题方式极为广泛，它的开设是为了让学生运用基本的算法解决实际过程中出现的问题，并能够熟练运用该方式解决问题。运用数字化逼近的方式，帮助学生建立理论思维，使其理解能力变得更加透彻，了解高等数学的解题技巧，并在后续实际应用过程中，运用合适的方式进行解题，培养举一反三的能力，提升教育质量。

数值逼近解题思路的出现，可以使学生对数值逼近有着更清晰的了解，它可以引导学生带着疑问走入课堂，在课堂中，将疑问与老师进行探索，为后续学习打下坚实的基础。在教育教学的过程中，教师可以就自己的一些解题经验，为学生提供有效的解题思路，使解题变得更加得心应手，从而激发学生对高等数学知识的喜爱[1]。

二、数值逼近在教学中遇到的问题

数值逼近的解题思路学习中，需要学习大量的理论知识，但对于一些基础功底不算扎实的学生而言，大量的公式及术语内容的学习会让学生感受到学习这些内容的枯燥。同时，数值逼近法的学习，其知识跨度是非常大的，需要学生具备一定的高数基础知识，更涉及微积分、线性方程、代数、函数等内容，需要学生对于这些知识的掌握得十分牢固，才能为后续解题思路提供全面的帮助。但学生在该内容的学习中，由于知识掌握得不全面，面对后续针对性极强的问题时，将会无法解析题目，影响该项内容的开展。

三、高等数学数值逼近解题思路的有效应用

1.利用二分法进行高數中数值逼近解题

二分法是数学领域的概念，通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

通过二分法能判断出根是否存在于某一个特定区间内，同时，我们还可以反复应用二分法将这个区间缩小到很小，从而得到方程的近似解。通过区间端点建立直线，并通过直线与x轴交点继续画直线，核心计算在于应用相似三角形的对应边成比例，不断地逼近方程的解[2]。

如，在进行解题的过程中，把函数f（x）的零点所在的区间[a，b]（满足f（a）·f（b）<0）“一分为二”，得到[a，m]和[m，b]。根据“f（a）·f（m）<0”是否成立，取出零点所在的区间[a，m]或[m，b]，仍记为[a，b]。所对得的区间[a，b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a，b]“足够小”，则[a，b]内的数可以作为方程的近似解。通过这样的讲解方式，加深学生对高数知识的理解。

2.利用微积分形式进行高数中数值逼近解题

分数阶微积分通常被认为是整数阶微积分的一种推广。因其在科学和工程领域的广泛应用，而引起人们的极大兴趣。在考虑刻画反常现象的分数阶模型时，绝大多数分数阶微分方程的精确解难以求得。因此，数值计算成为研究反常现象的首选方案。其中，构造分数阶积分和导数的数值格式显得非常重要。

在解决这个问题时，我们先引入一个概念高阶小量。无穷小量二次及二次以上的量都称为高阶小量。在做近似处理时，情况一：式子不含常量时，把高阶小量舍去，保留一阶的无穷小量;情况二：式子含常量时，舍去无穷小量。

例如：∑∞i=1=（ri-ri-1）r2i（i=1，2，3…），其中（ri-ri-1）=Δx，Δx趋于0（即无穷小量），很多人不知道该处理。其实这里就是舍去含有无穷小量项，用的熟练以后可以直接使用，接下来我们进行简单推导：

（ri-ri-1）r2i=1ri-ri-1r2i

=1ri-ri-1（ri-1+Δx）2

=1ri-ri-1r2i-1+2riΔx+Δx2

=1ri-1ri-1

到这里已经很清楚了，含有Δx的项都需要舍去（因为有限量乘以无穷小量还是无穷小量，仍然趋于零），这样原式求和就变得很简单了。

3.利用泰勒公式进行高数中数值逼近解题

泰勒展开式包含了丰富的信息，譬如单调性、极值、凸性等等。与微分相应，定积分的理论基础是有限和，其中每一项来自于对小区间Δx上函数下方的面积作矩形近似，这与微分异曲同工。泰勒公式解决了用微分近似计算函数值或函数值增量精度不高问题;提供了误差的估计公式，并可实现对误差的有效控制。在进行解题的过程中，可以对相关知识点进行逐一的筛选，运用更加合适的方式对习题进行解析。

在高等数学中运用数值逼近的方式进行解题，可以有效将高等数学中的相关问题变得更加简单化，从而提高学生对高等数学学习的兴趣，提升教育教学质量，为后续学习其他科学打好基础。

[参考文献]

[1]杨畅，孙杰宝，吴勃英.新工科背景下“数值逼近”课程教学改革探索[J].中国建设教育，2019（06）.

[2]卢长娜.项目教学法在数值分析课程教学中的应用[J].教育教学论坛，2017（46）.

（作者单位：江苏安全技术职业学院，江苏 徐州221011）