例说高中数学多项选择题的编制方法

严 鹏 (江苏省镇江崇实女子中学 212004)

尤 裕 (江苏省梅村高级中学 214000)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》在课程性质与基本理念一节中提到：把握数学本质，启发思考，改进教学．在课程目标中指出学生必须获得进一步学习及发展的“四基”，提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(“四能”)．江苏省作为即将实施新高考的省份，数学试卷的命制将有新的调整，加入了多项选择题这一新题型．

多项选择题，又称多选题，新高考中的多选题是一种正确选项数多于1个少于4个的选择题题型.多选题典型的分值为5分，考生选出了一个或几个正确答案，但没有选出全部的，得2分；选错一个得0分；全部选对得5分．多选题是选择题的一种，解题时要认真审题，忌讳题目没有读清楚就开始埋头苦算，结果不但浪费了大量的时间，还会被选项中的干扰项干扰导致做错，结果事倍功半．因此，解题前一定要把题目读透，理解题目的条件后迅速联想涉及到的概念、公式、定理以及常见思想方法，发现题目中的隐含条件，理解题目的真正含义．另外，做选择题特别要注意解题方法．选择题和填空题、解答题不一样，正确选项一定在给出的选项中，所以做题时除了按照解答题的思路直接来求解以外，也可以使用一些其他的方法，比如说特殊值检验、选项代入法、排除法、数形结合法，等等．

多项选择题有效地考查了学生的“四能”．笔者认为，教师可以从以下几个方面去考虑多选题的编制过程，从而进一步改进教学，促进学生“四能”的提高．

1 将单选题中选择正确的选项，改成选错误的选项

这样的编制题目是比较容易操作的，但是对学生的能力训练不能达到预期目标．这类多选题本质上来说还是单选题．学生不能感受到该种题目作为多选题，与单选、填空之间的差异．

例1原题(2019全国Ⅰ卷理9) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4=0，a5=5，则( ).

A．an=2n-5 B．an=3n-10

改编 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4=0，a5=5，则下列结论不成立的是( ).

A．an=2n-5 B．an=3n-10

这类问题可以用直接求解法求解．

2 将求范围的题目，改成求具体值的多选题

例2原题(2017全国Ⅰ卷理5) 已知函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=-1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( ).

A．[-2，2] B．[-1，1]

C．[0，4] D．[1，3]

改编 已知函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=-1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值可能是( ).

A．0 B．1 C．2 D．3

原题是给出函数性质，通过不等式的计算得到变量的范围．改编后变成满足不等式条件的变量值有哪些符合题意．这类问题可以使用直观分析法中的估值法来求解．

3 解题策略问题条件的选择

本类题目的设置一般是立足于开放性条件的变化，一个问题给出不同的条件会有多种解法．例如解三角形中的问题．

例3原题 苏教版必修5第14页例1(2)；第 15页例4；第 18页例1；第 20页练习4.

改编 (2020崇实女中高一期中考试)镇江崇实女子中学的校园是非常美丽的．校园内，百年古树相交映，草色遥看近却无．走在学校的林荫大道上，享受“沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”的感觉．可是，细心的同学会发现，林荫大道不是由直线构成的，而由两条路宽一样的道路拼接而成，有一个拐角．其中，第一段路面是和校门口所在直线垂直的，如图1所示．抽象出数学模型如图2所示，其中O，E为校门口左右两点，A，C为道路衔接处两点.

图1

图2

怎样计算这个拐角OAB的角度或它的某个三角函数值呢？测量小组甲、乙、丙、丁四位同学给出了不同的测量方法，请问哪些同学给出的策略是能完成目标的？( ).

A．甲同学的策略：在第二段林荫大道路边任取一定点B，如图2所示．沿校门口点O出发，匀速走完路程OA，AB，BO，分别记录走完OA，AB，BO所用的时间t1，t2，t3．经过计算，就可以算出这个拐角OAB的余弦值．

B．乙同学的策略：用尺量出林荫大道的路宽和拐角处的两个点A，C间的距离．经过计算，就可以算出这个拐角OAB的余弦值．

C．丙同学的策略：用尺量出校门宽度，在校门E处测量出观察点O和点B的视角OEB．经过计算，就可以算出这个拐角OAB的余弦值．

D．丁同学的策略：在第二段林荫大道路边任取一定点B．自己眼睛到地面的距离为1.6 m，站在校门口O处，测量出看点A的俯视角和看点B的俯视角．在门口点E处，再测量出看点A的俯视角和看点B的俯视角．量出校门的宽度，经过计算，就可以算出这个拐角OAB的余弦值．

这类问题的处理，可以使用推理分析法中的逻辑分析法和特征分析法．

4 开放性问题的研究

一般传统数学题目答案唯一，而开放性数学题由于题目中的条件不够完备，需要自己设定分类讨论从而解出不止一解的答案．这类题目往往可以根据一个恒等式来隐藏部分条件进行编制．

A．10° B．120° C．210° D．370°

这类问题可以使用间接法中的逆推验证法来处理．

5 题目本身就是多解

实际上，很多数学知识的产生都源于问题．有的题目本身就有多个解答结果，如求极值点问题．

例5函数3x5-5x3+1的极值点有( ).

A．-1 B．0 C．1 D．2

这类问题一般使用直接求解法解决．

6 概念的掌握和理解

学生对数学概念的掌握还需要通过运用，才能加深理解，真正成为自己的经验．学生要识别应该用什么概念，区别相似而又不相同的概念．因此，运用数学概念解答问题，可以巩固和加深对概念的理解，丰富对概念的本质特征的认识，培养学生对数学概念的选择、判断和联系的能力．

例6下列求导运算正确的是( ).

A．(ln 2)′=0

B．(cosx)′=sinx

C．(x2sinx)′=2xsinx+x2cosx

这类问题可以使用直观分析法或者间接法中的排除法来解决．

7 原题有多个结论

该类题型可以将结论修改成多项选择题的选项．

例7原题(2019全国Ⅰ卷理11) 关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数

③f(x)在[-π，π]有4个零点

④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是( ).

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

改编 关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|，下列结论正确的是( ).

A.f(x)是偶函数

C.f(x)在[-π，π]有4个零点

D.f(x)的最大值为2

这类问题的解决，可以用直接法中的图象法或者推理分析法中的逻辑分析法．

解决多项选择题，不管用什么方法，能够得出正确答案的方法都可以尝试．做选择题要利用好正确答案在四个选项中的特点，全方面分析，帮助学生快速找出答案．在对编制题目理解的基础上，教师可以对多项选择的教学活动做出更好的预案．