新课标视角下概率的教学——以“古典概型”为例

徐咪咪 (江苏省苏州市第五中学校 215008)

概率的教学历来是高中数学教学中的一个难点．概率内容看似简单，但如何让教师教好概率、学生学好概率并不是一件很容易的事情．作为一种“不确定性数学”的内容，概率与传统的“确定性数学”内容有较大区别．在概率教学过程中，教师要注重培养学生的随机意识、应用意识和对不确定事件的决策和判断能力．但是现阶段概率教学中，由于抱着以考试为中心的思想，很多教师在概率教学中仍以讲题为主，学生学习概率却不知如何用概率知识去思考问题、处理问题．《普通高中数学课程标准(2017版)》(简称“17标准”)在概率的教学方面，从广度和深度上都提出了更高的要求．在课程设置上，将概率与统计、函数、几何与代数、数学建模与数学探究活动作为课程结构的四条主线，贯穿必修课程、选择性必修课程和选修课程．在教学要求上，更强调概率概念的严谨性和概率教学的实用性．相信这将一定程度上改变目前概率教学的现状．

古典概型是人们最早研究的一个模型，是最简单又最常用的一个数学模型．对比《普通高中数学课程标准(实验)》(简称“03标准”)与“17标准”中与此相关的内容发现，古典概型是“17标准”必修课程中随机事件和样本空间教学的重要模型，也为后续选择性必修课程中概率的深入学习提供了范例．

内容“03标准”目标表述“17标准”目标表述随机事件了解随机事件发生的不稳定性理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系古典概型理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件数及事件发生的概率理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率事件独立性了解两个事件独立性的概念结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义,结合古典概型,利用独立性计算概率条件概率了解条件概率的概念结合古典概型了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率全概率无结合古典概型,会利用全概率公式计算概率

本文以“古典概型”的教学设计为例，以“17标准”为指导，参考人教版新教材，对高中概率的教学设计提出自己的一些看法．

1 教学过程

1.1 情境引入，提出问题

师：俗话说,“龙生龙，凤生凤，老鼠生儿会打洞！”可见基因的强大性.关于遗传，这里有个问题：一对双眼皮的夫妇生了一个单眼皮的男孩，于是丈夫怨妻子不忠而提出离婚．如果你是法官，你会怎么判定？

生1(笑着抢答)：有这种可能啊！我们家就是．

生2：根据生物学知识，这对夫妇如果携带了隐性遗传因子，那孩子就可能会出现这种情况．

师：从两位同学的回答，我们可以看出这是一个“可能”会发生的问题．今天我们就来研究这个可能性的大小．其实，同学们在初中就学习过概率，这节课我们就从初中教材中的两个问题说起！

师：请问这种说法正确吗？

生3：这不对的!只投一次不能说明问题．

生4：是啊，就算姚明，你让他投一次，他也不一定会投中啊！

生5：这个就像抛硬币试验，要多投几次．

师：是的，我们需要通过多次投篮，用投中的频率来近似地估计．但是这样不仅工作量太大，而且结果具有一定的摆动性，有些试验甚至还具有破坏性．

师：那这种说法正确吗？

生6：感觉不对，不同颜色球的个数不一样，不可能摸到的概率一样啊．

师：如何求摸出一个球是白球的概率呢？

师：为什么呢？

生7：说不清楚……我觉得是这样的．

师：如果我们将“从6个球中任意摸出1个”看作一次随机试验，可能的结果为(摸到)“白球1”“白球2”“白球3”“黄球1”“黄球2”“红球1”共6种．每一个球被摸到的概率是多少呢？

学生们不由自主地点头．

设计意图从生物遗传学中的具体情境出发，激发学生的学习兴趣．回顾初中教材中的两个问题，创设“惑”境，用问题引发学生的认知冲突，促进概念的深度学习．其中问题2引出了本节课的核心问题：不进行试验如何求概率？师生共同分析解题过程，为后续学习做好铺垫．

1.2 自主探究，建构理论

师：看过了初中教材中的两个问题，我们现在来看看今天要研究的新问题．

问题3一个口袋内装有3个白球、2个黄球和1个红球，它们除颜色外完全相同.现从袋子中摸出2个球，问摸出的2个球都是白球的概率是多少？

生8：可以像刚才的问题一样，给6个球先进行编号．

师：不妨记白球为1，2，3号，黄球为4，5号，红球为6号，请说说可能的结果有哪些？

师：一个是“无顺序摸取”，另一个是“有顺序摸取”，都是可以的．解决了问题2和问题3，我们发现，有一类概率问题可以通过对随机试验的结果进行分析解决．那么请同学们说说这类问题具有什么共同的特征呢？

生众：每一个可能的基本结果发生的可能性都相等．

生11(补充)：结果还得有限多个，否则列也列不完啊．

师：很好！这样我们就找到了一个理想的数学模型来解决这类等可能条件下的概率问题——我们称之为古典概型．我们知道随机试验的每个可能结果称为样本点，全体样本点的集合称为样本空间．因此可以从这个角度去定义古典概型．

数学理论1满足以下两个条件的随机试验的数学模型称为古典概型(classical probability model)：

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

问题4如何求解古典概型的概率呢？

师：我们一起来分析一下前面讲述的两个问题．对于问题2，用数字m表示摸到的球号，则该试验的样本空间是什么呢？符合古典概型吗？

生12：{1,2,3,4,5,6}，共有6个样本点．由于样本点出现的可能性相等，因此是古典概型．

师：很好！我们把上述两个问题的结论一般化，就可以得到以下结论．

师：数学史上，古典概型是最早出现的．概率论这门学科源于赌博，大量的分赌金问题迫使人们给出一种合理、公平的方式．帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导、应用等方面做出了贡献．但直到1812年法国数学家拉普拉斯在《概率分析理论》中才给出了概率的古典定义．

设计意图将问题2进一步深入，提出新的问题．引导学生总结这些问题具有的共同特点，寻找解决问题的一般方法，建立数学模型．数学史的适当融入，让学生了解概率在人类文明发展史的应用，体验数学史的文化魅力．

1.3 数学运用，巩固新知

例1抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和II号)，观察向上的点数.

(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；

(2)求两个点数之和等于5的概率；

(3)求I号骰子的点数大于II号骰子的点数的概率．

思考：如果不给骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中原因吗？

设计意图以学生熟悉的抛骰子试验为例，第(1)问是巩固新学的概念，第(2)(3)问是在不同情境下考查学生的抽象能力、应用新知解决问题的能力．思考题则是通过对比，帮助学生进一步理解古典概型中的等可能性．

例2从两名男生、两名女生中任意抽取两人.

(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间；

(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．

设计意图例2体现了概率学与统计学之间的密切联系．抽样方法不同，则样本空间不同，同一个事件发生的概率也可能不同．不同的统计目的需要选取不同抽样方法，确保其合理性．

例3人眼的虹膜有褐色的和蓝色的两种，褐色是有显性遗传因子D控制的，蓝色是有隐性遗传因子d控制的．已知一个蓝眼男人与一个褐眼女人(这个女人的母亲是蓝眼)结婚，求这对夫妇生下蓝眼小孩的概率(只要有基因D就是褐色，只有两个基因全是d时才是蓝色)．

讨论：利用概率知识，如何提高优生优育的概率？

设计意图例3改编自高中生物教材中的一个练习题，是概率在生物遗传中的应用，与课题的引入相呼应．数学是一种科学的共同语言，跟其他学科的交融，进一步体现出其科学价值和应用价值．

2 教学反思

概率教学的核心是运用数学方法去研究不确定现象的规律．本节课的设计遵循数学知识的发生、发展过程，从直观感知、操作确认到逻辑论证，从思维的低阶向高阶递进，既符合知识的形成与发展规律，也体现了“数学源于现实，用于现实”的理念．结合这节课的教学设计，笔者认为，概率教学中有两个方面需要关注．

(1)注重概念建构，加深概念理解

在初中时学生对概率就有了初步认识，了解事件发生的可能性．初中的教学内容注重实例，往往以丰富的例子为载体，让学生体会概率的研究内容，不追求形式化的数学定义．然而高中概率的知识更加注重知识的系统性与完整性，从概率的定义到古典概型，再到随机变量，从具体到抽象，学生对概率的认识逐步深入．适度的形式化、符号化有助于学生理解概念的本质，实现知识的真正内化．

“03标准”出于将抽象概念具体化的目的，用“基本事件”“基本等可能事件”来引出古典概型．然而由于很多版本的教材对基本事件的本质属性解读不够，使得学生对概念的理解往往停留于记忆性理解．在教学中还发现很多学生甚至对这个概念产生了偏差，误以为一个试验只有一种构造基本事件的方式，从而对古典概型的学习产生了负面影响．

正确地定义一个数学概念，特别是概率中的概念，最佳的途径是进行严格、准确的描述．在大学教材《概率论与数理统计》第一章中是以样本点和样本空间来描述事件的．“17标准”将大学部分内容下放，明确把“样本点”“样本空间”这些作为最基本的概念提出，用集合的观点来处理事件及事件间的关系，把事件的运算归结为集合的运算．事实上，集合语言对高中学生而言一点也不陌生，学生进入高中学习的第一章就是集合．作为近现代数学的基本语言，用集合论可以简洁、准确地表述数学对象．因此“17标准”中这一改变完全符合高中学生的认知特点，遵循学生的认知发展规律．

本节课从两个来源于初中教材的实际生活问题(问题1、问题2)出发，唤醒学生对古典概型的直观认识．通过问题3、问题4的设计，引导学生把对问题的表述，从文字语言转化为数字语言，最后转化到符号语言，将对古典概率的认识逐步提升到一定的理性高度，以期加深学生对概率论中概念的理解，帮助学生透过表面的文字看到事物的本质．

(2)注重模型建立，发展应用意识

史宁中教授认为数学教学的最终目的之一是用数学的语言表达现实世界，数学的语言就是模型．无论是自然界的问题还是生活中的问题，提出数学模型都是非常重要的．只有通过数学模型，人们才可能清晰地刻画那些规律性的东西，才能认清事物的本质．古典概型是概率研究中的一个重要模型，我们要在教学过程中加强对随机试验的分析，注重挖掘试验的来龙去脉，关注模型建立的合理性，让学生明白对同一现实对象也可以用不同的模型来描述.比如本文中问题3，既可以是“有顺序地摸取”，也可以是“无顺序地摸取”．只要是符合古典概型特征的，都可以用古典概型求解．本节课的设计重在引导学生经历模型建立、应用的全过程，提高学生利用随机思想的观念分析现象和解决问题的能力，帮助学生积累建立数学模型的思维经验．

概率的研究对象是随机现象，在生活中有很多实例，涉及税收、机器人、人口统计、利息等方方面面．除了贴近生活，它和其他学科的教学也存在着一定的联系，具有知识的发散性和满足事物的普遍联系的原理．因此本节课除了选用投篮、摸球、抛骰子等经典古典概型的例子之外，还选择了两个体现概率广泛应用的例子：例2体现的是概率与统计之间的联系——概率为统计的发展提供理论基础；例3则选用了生物中遗传学的例子，是数学与生物学科之间的交叉．这两个例子符合新课标中培育科学精神和创新意识的理念，有利于学生形成系统、整合的知识体系，提高综合解决问题的能力．