研读新课标的变化 提高高三复习效率——“空间几何体的体积”一轮复习与反思

方立新 (江苏省扬中市第二高级中学 212200)

1 学情分析

本节课教学对象是四星级高中的高三物生地组合普通班学生，有一定的自主学习能力、运算能力和运用知识解决问题的能力．

2 考点解读

求几何体的体积是立体几何的重要内容之一，是综合运用空间中点、线、面的位置关系，空间角和距离的数量关系等知识交汇点解决问题，培养空间想象能力、逻辑推理能力、综合分析问题能力、数学运算能力等的重要载体，也是高考考查的热点问题之一．

教学目标 (1)通过复习柱体、锥体、台体及球的体积公式，学会用运动、变化、联系的观点分析理解空间几何体体积公式中各个量之间的内在关系；(2)通过探究多种形式几何体的体积，掌握解决空间几何体体积计算的分析思路和常用方法，培养化归与转化的意识，逐步提高直观想象素养，积累数学解题活动经验．

教学重点 空间几何体体积的计算．

教学难点 空间几何体中高的确定．

3 过程实录

3.1 基础知识梳理

用导学案辅助教学，课前以表格填空的形式印发，由学生自主完成．

几何体名称体积公式柱体(棱柱、圆柱)锥体(棱锥、圆锥)台体(棱台、圆台)球

师：同学们好！课前大家都已经完成了表格填空，请观察这些公式有什么联系？

学生对照几何体示意图(图1)，讨论发现：若将棱台的上底面扩大成与下底面全等时，就是棱柱；若将棱台的上底面缩成一点时，就是棱锥．同样，若将圆台的上底面扩大成与下底面一样大小时，就是圆柱；若将圆台的上底面缩成一点时，就是圆锥．

图1

因此，在台体体积计算公式中，若令S′=S，即得到柱体的体积计算公式；若令S′=0，即得到锥体的体积计算公式．

设计意图通过表格填空和几何体示意图，唤醒学生的旧知，并通过运动、变化、联系的观点来理解、记忆几何体体积的计算公式，发现它们之间内在的联系．

3.2 典型例题讲解

例1把长、宽分别为4和2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．

师：大家可以动手感受一下，拿出课前发的矩形纸(其长和宽分别为4和2)，将它卷成一个圆柱，可以怎么操作？其体积如何求解？

师：在动手操作中，我们发现有2种不同的情形，要进行分类讨论．而这种直接利用体积计算公式求几何体体积的方法称之为公式法．

(教师板书“方法1：公式法”)

训练1如图2，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm3．

图2

设计意图让学生在操作实践中体验解决问题的过程，并提炼解题方法，形成解题经验，最后通过训练题与例题形成题组，进一步加深对公式法的理解与应用．

例2如图3，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是边长为a的等边三角形，四边形ABCD是矩形，F是AB的中点，EC与平面ABCD成30°．求三棱锥F-CDE的体积．

图3

生3：三棱锥F-CDE的体积计算需要求得底面面积和高，其中△CDE的面积易求，但点F到面CDE的距离解决不了．

师：很好！生3利用转化与化归，通过“等体积性”进行变换，将不易于求高的三棱锥转化成易于求高的三棱锥，这种方法称为等积法．

(教师板书“方法2：等积法”)

师：等积法求三棱锥体积，适用于四棱锥、五棱锥等其他棱锥吗？

(学生思考片刻)

生5：只适用于三棱锥，其他棱锥不行，因为换顶点后，其他顶点不共面．

师：所以等体积法一般适用于三棱锥，转换时可以用任意一个面作为三棱锥的底面.实际解题时我们一般都选择高和底面积容易求的来计算，这也是一般与特殊思想方法的体现．

师：(追问)再看例2，如何求点F到平面CDE的距离？

生6：由于三棱锥F-CDE与三棱锥E-CDF的体积相等，上一问已求出三棱锥F-CDE的体积，只要再求出△CDE的面积，即可根据体积计算公式求出点F到平面CDE的距离．

师：等积法不仅是我们计算三棱锥体积的一把利器，也是求点到面距离的又一重要方法，尤其是点到面的垂线不好作时，往往使用此法．

设计意图通过追问，在本题基础上再次让学生思考，挖掘了等积法的另一功效，拓宽了例题的广度，发挥出例题的最大功效．

训练2如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，E,F分别是棱AA1和CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积．

图4

师：生7通过补形的方法将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，而长方体的外接球易于处理，这样就实现了化归.这种计算体积的方法称之为补体法．

(教师板书“方法3：补体法”)

设计意图通过计算旋转体(球)的体积，让学生理解并掌握通过补形的方法解决球的体积问题，培养学生的转化化归意识和空间想象能力，提升直观想象素养．

例4已知三棱锥P-ABC中，棱AC长为6，其余各棱长均为5，求三棱锥的体积．

(学生交流讨论，教师巡视)

师：哪位同学说说自己的解题思路？

图5

师：对！生8给出了此题最基本的解法——公式法，而且解题过程思路清晰、严密，非常好！此解法的关键是利用侧棱长相等找到了顶点在底面射影的位置，确定了三棱锥的高所在的线段，所以体积计算时高的确定很关键．除了直接利用公式，还有其他想法吗？

师：生9将原三棱锥分割成两个易于求高的三棱锥，使得问题化繁为简．在求几何体体积的计算题中常常通过分割几何体将不易求长度的几何体转化为易求长度的几何体，这种方法我们称为分割法．

(教师板书“方法4：分割法”)

设计意图通过解法1与解法2的交流，既回顾了公式法求体积，又让学生理解与掌握如何进行“恰当”的分割，培养学生的灵活应变能力．

3.3 课堂小结

师：回顾今天所学内容，我们复习了什么知识？收获了什么方法？

生10：本节课复习了多面体的体积计算，梳理了多面体体积的四种求解方法：公式法、等积法、补体法、分割法．

师：看来，求体积的方法是灵活多样的，真可谓“若把体积比美锦，横裁竖剪总相宜”!希望同学们在解题中能正确预判，选择最为优化的方法，从而解决问题．

4 教学感悟

在高三数学复习中，我们往往关注知识再现和解题技巧，容易忽视在复习过程中如何帮助学生掌握积累数学学习经验的方法，获得数学解题活动经验.在本节课中，笔者进行了以下尝试：

首先，创设让每一个学生主动参与数学活动的机会．引导学生正确认识理解数学知识，坚持复习数学知识时先由学生独立思考、再师生相互讨论，发现其内在联系，总结规律，丰富体验．在复习多面体和旋转体的体积公式过程中，首先让学生课前进行知识再现，课堂上研究柱体、椎体、台体

三种几何体的变化规律，发现形状变化与表示体积的数量关系之间的联系规律，让学生能够整体记忆理解各种体积公式．指导学生动手操作，制作圆柱模型，比较熟练地画出各种简单的几何体图形，猜想点、线、面的位置关系，通过图形提高空间想象能力，树立空间观点．

第二，帮助学生在数学解题活动中尝试、体验、积累数学活动经验．解题时教师指导学生自主审题，弄清题意，通过画图、观察、比较、归纳、猜想、类比、联想、运算、建模、讨论、反思等活动发现立体几何知识与问题中的条件、结论之间的联系，借助原有经验和解决问题的一般策略发现解题思路，掌握解题方法，总结解题规律，积累解题经验．针对学生实际，对于求解几何体体积的每一种方法教师注重实效，难度适当，及时巩固，力求让学生一题一得，不贪多求快．

第三，引导学生总结规律，反思活动过程，获得数学活动经验尤其是数学解题经验．一是总结知识形成的本质规律和应用契机，为什么有的学生公式倒背如流就是不会用，就在于学生不知道公式用在哪里、怎样用；缺乏用公式的经验．二是探究问题形成的内在联系规律，问题的条件、结论和数学知识、方法、思想存在着必然的联系，弄清内在联系就容易发现解决思路与方案．三是探究解决问题的基本策略与方法，比较不同方法之间的联系与优劣，寻求应用各种方法解决问题的时机.例如求几何体的体积关键是求高，哪些情况下直接求高、哪些情况下要进行转化、转化有哪些策略和技巧，经验需要总结，总结离不开反思、回顾、顿悟，必须给学生留有自主总结的时间．

本节课还有一些需要改进的地方：(1)本节课要求学生有较强的空间想象和思维能力，对于空间感较差的学生普遍存在学习障碍．在本节课教学中如何培养直观想象素养方面缺少行之有效的针对性措施，在平时的复习教学中也缺乏一整套成熟的训练方法．(2)本节课试图贯彻以学生为主体的理念，引导学生独立思考，加深理解，主动探究，但在具体活动过程中缺乏章法，特别是如何指导学生积累数学活动经验，提高分析问题解决问题的能力，从而提升高三数学复习效益还未形成成熟的做法．