高考应用题考查规律与教学策略——以全国Ⅰ卷为例

何 明 (江苏省南京市大厂高级中学 210044)

从1978年恢复高考时起，高考数学试卷中就开始有数学应用题，而这仅持续到1984年，之后的高考试题中应用题销声匿迹达八年之久．由于数学教育界严士健、张奠宙、苏式冬三位老前辈的远见卓识与积极努力，自1993年起在高考中恢复了数学应用问题，作为培养中学生数学应用意识的题型——数学应用题已成为每年数学高考的一道“大菜”．回顾1999—2020年高考数学应用问题，我们发现应用题的考查贴近课本、贴近生活、贴近学生实际、贴近问题的实际，逐步形成了有数学内涵和教育功能的命题风格.数学教学中应培养学生的数学应用意识，以及用数学思想与方法解决实际问题的能力．

1 高考数学应用题内容分析

从表1中发现，高考应用题的题型更多地偏向选择题与解答题，每年应用题一般约占12分到22分不等，其中2018年和2019年应用题分值高达27分.按照目前高考试卷呈现的特点可分为客观应用题和主观应用题：客观应用题一般是单项选择题、填空题；主观应用题是高考应用题的主要表现形式，需要书写必要的解答过程．

表1 1999-2020年全国Ⅰ卷数学应用题的测试题型及分值

表2 1999-2020年全国Ⅰ卷数学应用(解答)题的测试内容

纵观高考数学应用(解答)题的背景，最突出的一点就是引领中学数学教学向着培养中学生的数学应用意识——市场经济、环境保护、资源利用、社会服务意识、产品监督、大数据意识等，特别是引导中学生要建立经济活动中追求最优化的思想；数学应用题的数学内涵也从初期的函数、数列模型过渡到以数学各块内容为模型，例如概率模型、正态分布模型、数据拟合模型．按照高考应用题的来源来分类，有对教材或者教师参考书中应用问题的改编，也有对国外相关资料的改编或对报纸杂志中情境问题的改造，有的来源于生活、生产实际问题的模型，有的是贴近学生个人的生活经历的反映．

2 高考数学应用题变化规律

对1999—2020年高考全国Ⅰ卷的研究发现，应用题小题的数量有所增加.2017年以来，全国Ⅰ卷都是两个选择题.同时，主观应用题考查的数学内容也发生了巨大变化：新课程改革后，逐渐过渡到以考查概率统计方面的知识为主，更加突出地考查数学核心素养，对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等方面提出了更高的要求．近几年的全国Ⅰ卷考查的是回归方程、均值、方差问题，都是统计范畴的知识，从而我们能发现主观应用题以概率统计问题为背景己经成为近几年高考中较为稳定的趋势．

(1) 着重考查了学生的数据分析能力

每个行业都离不开对数据的整理与分析，如今经济的快速发展更是对人的数据分析能力提出了更高要求，要求人们拥有用数据表达现实问题的能力、用数据思考的能力，积极根据数据探索事物本质，找寻活动经验.这对于学生的数据分析能力提出了相应的要求．在近几年的高考试题中，大多是给考生呈现记录信息的载体(茎叶图、条形图、频率分布直方图或者是收集、整理、统计的相关数据等)，要求考生对数据运用恰当的统计方法或图表进行归类分析，通过直观的分析和推断，获得有用信息．

(2) 注重考查学生的数学抽象能力

最近几年，应用题着重考查考生把握题设中数学关系的能力，不看具体数据，把实际问题变成数学模型．除此之外，还把一些已知的抽象条件转化为相应数学关系，进而对题设中的要素加以整合．试题公平、客观，避免用较长的语言表述背景、描述模型，有利于侧重考查学生的建模能力.如2019年高考中断臂维纳斯身高估算(全国Ⅰ卷文理4)，古代典籍《周易》算卦(全国Ⅰ卷理6)，2020年(全国Ⅰ卷文理3、理5)要求学生通过研读文本，对内容加以整合，在思维活动中抽象出事物的本质属性，抽象出几何模型、数据模型等．

(3) 注重现实生活背景考查

近年来，高考数学应用题一般都来源于现实背景，几乎所有的应用题都包含背景问题，并且取材非常广泛，多是社会热点问题，贴近生活，带有强烈时代气息．如今，高考数学中的应用题逐渐关注经济发展以及民生发展，时常还会包含经济和社会生活方面的知识．随着国家对于教育提出的“文明其精神，野蛮其体魄”政策的落地与实施，高考应用题以体育赛事为背景的概率计算问题逐渐成为高考的热点．如篮球赛胜负概率(2019全国Ⅰ卷理15)、羽毛球胜负概率(2020全国Ⅰ卷理19).

3 高考数学应用题教学备考策略

高考数学应用题着重考查数学核心素养，同时对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等方面提出了更高的教学要求．在平时的教学中，我们应该更加着重培养学生分析问题和解决问题的能力，加强数学与生活的联系，培养数学应用意识．

(1)重视学生阅读理解能力,突出数学抽象素养

阅读是一个复杂的信息加工过程，是个体通过图片、文字、公式等材料提取信息，整合并重组信息的过程．数学应用题的最大特点就是文字信息量大，这就需要学生主体在解答应用题的过程中简化问题，通过阅读将有效的数学信息从中抽象概括出来形成数学问题，然后建构新的数学模型，选取恰当的策略解决问题．教学中，应让学生独立分析理解题目信息，并让学生把他觉得重要的信息提取出来，再将这些信息与之前学过的知识建立联系，最后让学生表达自己的解题思路，通过自己的阅读，分析获得了哪些重要的信息、材料中包含了怎样的等量关系和数量关系或者内在联系、能够运用什么样的数学思想和方法、还有什么样的困惑没有解决、有没有其他补充.学生只有经历尝试和实践才能够将知识内化为数学知识的整体结构，在做题的时候才能逐步提高学生数学阅读能力，将实际问题抽象成数学问题，从而培养数学抽象素养．

(2)发展学生自主学习能力，培养学生的模型意识

在这个信息技术高速发展的时代，大量新鲜事物的出现体现了当代的时代特征．数学应用题也体现着时代特点，以时代为背景的考题不断涌现，比如华为、小米手机的生产率问题，全球化贸易利润问题，新冠病毒感染模型，其中还伴随着专业名词出现.这样的情况也为学生解决数学应用题提供了难度.“两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书”的时代已然过去，固步自封只会限制社会的发展，限制学生的发展.例如，平时可以看看体育赛事：世界职业棒球赛采用全美篮球总冠军7强决赛制，美国网球决赛女子采用3强赛，男子采用5强赛，如果某队队员实力较弱，哪种赛制获胜的可能性较大？若学生在课下对这些比赛规则有过了解，那么对与体育赛事有关的概率计算就相当于会了一半．教师要经常在课上课下渗透当下生活和科学等方面的热点问题，帮助学生了解时政新闻，与世界接轨、与时代接轨，进一步减小应用题的难度.但毕竟在校时间有限，目前各类信息量大，还需要学生自主学习了解当下时代发展前沿.学生可以通过互联网、图书馆报刊、讲座等方式获得新鲜事物的信息，通过对外面新鲜事物的认识，进一步丰富现有的各类数学模型．

(3)重视建模思想的应用，培养学生的数学建模素养

数学建模思想在解决数学应用题的作用上是至关重要的，也是数学建模素养的重要体现．数学建模思想是指通过将现实的问题或者情境抽象为数学问题，建立方程、不等式、函数等模型来表现数学问题中的数量关系以及变化规律，然后利用数学思想方法解决这类问题的方法策略和意识．如2018年全国Ⅰ卷第15题是工作安排方案问题，考查学生建立排列组合模型的能力，考查计数原理和排列组合的数学基础知识；2019年全国Ⅰ卷解答题21题是药物有效性问题，与之对应的是概率模型考查分布列和数学期望的相关内容；2020年全国Ⅰ卷选择题第5题是种子发芽率问题，与之对应的是根据散点图的分布选择合适的函数模型．高考题虽没有建模活动，却在题目中渗透了建模思想，需要学生有意识地运用数学语言表达问题，建立数学模型，运用数学方法解决问题．数学创新型应用题涉及到的数学模型主要有概率统计模型、排列组合模型、解析几何模型、数列模型、线性规划模型、函数模型和立体几何模型，所以教师要以相关模型为背景设置练习题，重视建模思想的运用，锻炼学生熟练掌握建模思想的能力，进而培养数学建模能力．

纵观1999—2020年高考数学应用题，其主要体现了数学建模这一核心素养.我们要重视数学实际问题与生活生产的联系，培养学生建立正确数学模型的能力.在解决应用题的过程中，要先分析材料，将有效数学信息抽象提取出来，再根据知识的背景进行代数运算，提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养．正确进行数学应用题的教学，注重核心素养的培养，对学生解题能力、思维能力和创新能力都有很大提高．