基于基本活动经验的教学设计研究——以“双曲线的渐近线方程”为例

王思俭 (江苏省苏州中学 215007)

1 问题提出

1.1 现状分析

笔者近两年就“双曲线的几何性质——渐近线方程”的教学情况进行了调研，先后随堂听课36节.其中,只有一位教师从具体的双曲线方程利用几何画板演示渐近线的形成，再进行例题讲解；12位教师将此性质并入其他几何性质，并且带领学生阅读课本内容，然后进行反复强化训练；23位教师直接将双曲线的渐近线方程告诉学生，再结合其他性质做一系列的综合题．不但没有系统讲解知识的形成过程，而且没有具体的课时安排，而是与其他知识混搭，更没有立足学生已有的基本活动经验去进行教学设计，仍然是关注题海战术，有的一节课讲解25～30个题目，学生机械模仿，没有自己的思想，更没有思考与交流的机会．

新一轮课程改革的宗旨是让学生学会思考，进而学会终身学习．鉴于此，笔者受苏州大学数学科学院的邀请，于2019年11月15日为2016级本科生和2017级研究生以及苏州中学数学组青年教师执教了“双曲线的渐近线方程”，旨在希望他们将来在自己的教学实践中要关注学生的学习、交流和思考，提高学生的思维能力和学科素养．

1.2 教材分析

双曲线的渐近线方程是其几何性质之一，苏教版高中数学教材选修2-1第41页详细阐述了渐近线方程的由来，并从极限思想出发作了理性说明，但学生仍无法接受这种粗略的描述性说明．能否从学生的基本活动经验出发，利用从特殊到一般的数学思维方法，寻求新的教学思路？

1.3 学情分析

教学对象是本校高二15班31名学生，该班是本校与中国科学技术大学联合创办的首届少预班，学生是从初二直接选拔读高中的，年龄都是15～16岁．他们思维活跃，反应较快，接受能力、自学能力和理解能力较强，但数学书写往往不到位，特别是逻辑推理方面欠缺.选择这节内容开设公开课，旨在引导学生会用数学语言表述事件．

2 教学实录

师：第(1)个函数的图象叫做什么？在第一象限内随着x趋近正无穷，函数图象变化如何？

图1 图2 图3

师：正确！这时我们把x轴、y轴叫做它的渐近线．后两个函数的图象情况怎样？

生3：函数y=log2x的图象随着x无限趋近于0+，图象无限接近y轴，但不能越过y轴(图3)．

师：很好！你们从直观想象层面上理解渐近线，那么你们能从逻辑推理层面再给出解释吗？

师：很好！你能找出x0吗？

师：非常好！生6从离散量到连续的量进行严格推理证明，对于后两个函数图象的渐近线又如何推理研究呢？

师：很好！

设计意图基本活动经验1——初等函数从图象上研究曲线的形状、特征，从几何直观上理解渐近线，体现直观想象核心素养，再从数据分析上理解渐近线．

An(1,0)(2,3)(3,22)…(n,n2-1)…dn

设计意图基本活动经验2——利用点到直线距离公式，体现数据分析核心素养．

师：正确！请研究点An满足的规律是什么？

生10：点An在曲线x2-y2=1(x>0,y>0)上，即双曲线的第一象限内的一部分．

师：请作出点An所在曲线的图形及直线y=x的图形．

图4

生众：(在自己座位上画图，教师走到学生中间巡视)利用对称性可以拓展得到曲线x2-y2=1与y=±x的图形．

师：当n趋近正无穷，dn的变化趋势如何？

生众：不严谨,需要证明．

师：哪位同学来证明？

生13：这里n应该是任意正实数x，当x→+∞时，d→0．

师：非常好！你们从哪里学到的？

生13：我在高等数学书上看到的，自学了一点，这样讨论我更加清楚了．

师：通过证明，运用类比思想，把直线y=±x叫做双曲线x2-y2=1的渐近线．

设计意图体现数据分析、逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养．

生众：能否将上述问题推广？

师：很好！请填写下表(点An到直线l：bx-ay=0(a>0,b>0)的距离dn)，并回答问题：

An(a,0)(2a,3b)(3a,22b)…(na,n2-1b)…dn

问题1 观察An的特征.(或所在曲线是什么？)

问题2 观察点An到直线l距离dn的特征．

问题3 你能发现什么规律？

与国内的工作环境相比 ，境外工作将面对的是一个完全不同的工作环境 （其中包括社会、政治、经济、法律、风俗习惯、地理气候、施工工艺等方面），所以对所有参与海外项目的工作人员提出了高标准、高水平、高素质的严格要求。

师：很好！实质就是刚才的特例．

问题4 你能改进计算距离的算法吗？

设计意图培养学生从特殊到一般的思维方法，训练数学抽象、逻辑推理等核心素养．

生21：如同椭圆对应矩形MNPQ(其中M(a,b),N(-a,b),P(-a,-b),Q(a,-b))的两条对角线．

师：这也是作双曲线图象草图时常用的方法，生21是利用类比的方法得出，很好！

师：这种记忆方法与双曲线方程形成统一美、对称美、和谐美，数学之美无处不在！请你们探究——渐近线的斜率与离心率的关系是什么？

设计意图利用类比思想研究双曲线的几何性质，训练学生的数学抽象、直观想象能力，让学生发现并欣赏数学的美，传播数学文化．

师：很好！同学们也总结出双曲线渐近线方程两种不同的记忆方法，反映出同学们有较强的直观想象、类比推理和逻辑推理能力.希望大家继续努力，要有探索和创新的精神！现在看两道小题(略)．

3 教学反思

教师是教学的主导．主导在很大程度上可以理解为教学导向，即在教学过程中进行启发、暗示、引导．在新课标的核心素养导向下，教师的主导地位体现在：提供学习的方向和目标、提供交流的情景和机会、提供思考的问题和动力，即学生能做的就让学生做，教师把握一个大的方向．正如杜威所说：“他掌着舵，学生们用力把船划向前去．”[1]

教学反思是教师进行教学活动的重要思维活动，是教师发展的重要途径，也是课堂教学的原动力．因此，教师应该努力对每节课进行教学反思，以提升自己的专业素养．

3.1 教学生学会学习

要使学生获得可持续发展，还要让学生学会学习，教给他们学习的方法，使他们学会独立地获取知识；学会研究问题的方法，学会从不知开始，一步一步地达到问题的核心，直至最终的问题得以解决．

自主学习、探究学习是一种学生主动获取知识、发展能力的学习方式．[2]新课标强调学生要学会学习，倡导学生在经历新知识的产生过程中获取科学研究的一般方法，提高以后解决新问题的能力．因此，在教学过程中教师要努力为学生创设宽松愉悦的探究氛围、提供平等对话的机会．这样能调动学生个人经验的参与，激发学生丰富的想象力，加深对知识的理解．

3.2 教学生学会交流

“数学是思维的科学，数学教学是思维的教学．”[3]在课堂教学过程中，及时追问是提高学生思维参与、加速知识领悟的重要策略．面对学生简单短小的回答，教师需要及时追问，在追问过程中了解学生的理解程度，捕捉可能的问题，补救可能的不足．

对话、沟通、合作、交流已经成为现代教学方法突出的特点．传统教学中教学活动的单向性、师生交流的匮乏对教学效果的不良影响已经逐渐得到重视，课堂越来越被看成是合作、交流的融洽的学术交流场所.概念型课作为合作交流学习的一种方式，如“双曲线的渐近线方程”，给学生提供更多展现自我的机会.因此，在教学中努力暴露学生的思维过程，本节课上教师不满足于学生答对问题，而是通过追问检查学生的思考状况，明确每一个环节的意义，让学生加深对知识的理解．对于教师的追问，学生未必能一次就回答到位，教师应该给予积极的鼓励，增强他们直面挑战并战胜困难的勇气、毅力和信心，给他们创造体验成功的机会．

3.3 教学生学会思考

教学生学思考是数学教学的首要任务，数学教学就是“教会学生去思考”[2]，注重科学研究一般方法的渗透是有效教学的必要条件．本课以问题驱动学生思考，在问题情境和问题解决中感悟数学原理，有提出猜想、有制定方案、有实施方案、有概括总结、有反思提升，学生会在这样的教学情境中自然而然地感受了科学研究的过程，实践了科学研究方法．

波利亚曾说过：“令人讨厌的艺术就是把什么都说出来．”[3]新课标提倡学生自主探究、学会思考．这要求教师尊重学生的主体性，提供充分的思考空间，让学生在问题探究中表达自己的想法，修正自己的发现，完善自己的知识结构．本节课上，教师鼓励学生不断探索、完善用数学语言刻画“距离越来越趋近于0”“你是怎么想到的？请把你的想法告诉大家”“想一想，这两种距离哪个更好？”“大家还有什么想法？”这些引导语把学生的积极性调动起来，让学生大胆地说出自己的想法.课堂上学生思维活跃，畅所欲言，成了课堂的真正主人．