2020年北京高考电学实验分析

◇ 北京 吴广国 邹 斌 刘文彪

2020年北京高考物理第16题是测量干电池的电动势和内阻实验.不过该实验题与人教版教材中给出的电流表、电压表和滑动变阻器的测量方法有所不同,考题也不需要具体测量出该电源的电动势和内阻,主要考查了学生对实验方案和电表内阻引起实验误差的分析,考查学生对实验结果进行交流、评估和反思的能力.本文第一部分详细分析了教材中实验方案的误差来源;第二部分给出对2020年北京高考第16题的详实试题分析;第三部分对实验进行拓展,给出戴维南定理并利用戴维南定理分析“等效电源”问题,最后给出测量水果电池的电动势和内阻的拓展实验,并对实验方案与误差进行了详尽的分析与讨论.

1 测量干电池的电源电动势与内阻

1.1 干电池的理想U-I图象

路端电压U需要电压表测量,流经电源的电流I采用电流表测量.如果用图1-甲来测量,则电流表示数小于流经电源的电流值;如果采用图1-乙来测量,则电压表示数小于电源的真实路端电压.这是电表内阻引起的误差,称为系统误差.

图1

干电池的理想U-I图象是无法通过实际测量得到的.不过如果假定电压表内阻无限大,电流表内阻无限小,则可用图1中任何一种实验方案得到该电源的理想U-I图象,如图2虚线所示.图2中纵坐标U是干电池的路端电压,横坐标I是通过电源的电流值.

图2

由闭合电路的欧姆定律U＋r·I＝E可简单推导出U＝－r·I＋E,干电池在正常工作时,可以看作电动势不变.在较短的用电时间内,电池内阻也可以看作不变.该直线与纵坐标轴的交点数值表示断路时的路端电压,即电源电动势E;这条直线与I轴的交点I0表示为短路电流.根据短路电流I0、电源内阻r与电动势E的函数关系可以求出电源的内阻r与该直线斜率k的关系为k＝－r.测电源电动势和内阻是中学物理教学中重要的学生实验之一,教材中采用图1-甲实验方案,即“伏安法”来测量,由此还可以衍生出“伏阻法”和“安阻法”.本实验的难点在于实验数据的处理和误差分析,问题的设置也往往在此,以检测学生分析问题、解决问题的能力,提升学生物理学科核心素养中的科学思维.

1.2 课内学生实验及误差分析

人教版高中物理教材中采用如图1-甲所示的实验装置,测量干电池的电动势E和内阻r.设电压表内阻RV约为3kΩ,电流表内阻RA约为0.1Ω,干电池内阻r约为1.0Ω.

采用如图1-甲所示电路,根据闭合电路的欧姆定律U＋可推导出其U-I图象如图3所示.而在处理数据时,仍然认为截距为电源电动势,斜率的绝对值为电源内阻,即.

图3

因此由电压表内阻引起的系统相对误差:

有的同学会提出疑问:为什么不考虑电流表的内阻RA对系统误差的影响呢?因为图1-甲中可以将电流表与滑动变阻器看成一个整体,通过改变滑动变阻器阻值来改变路端电压.电压表测得电源真实的路端电压,通过电源真实电流I为电流表的示数与通过电压表的电流之和.电流表仅起到测量该支路电流的作用,其内阻不影响该实验方案的系统误差.

图4

如果采用图1-乙所示的电路图来测量干电池的电动势和内阻,根据闭合电路欧姆定律U＋I·(r＋RA)＝E,可知U＝－(r＋RA)·I＋E.该函数表达式的U-I图象和理想U-I图象如图4所示.而处理数据时,仍然认为截距为电源电动势,斜率的绝对值为内阻,即.

如果我们依然取电压表内阻RV约为3kΩ,电流表内阻RA约为0.1Ω,干电池内阻r约为1.0Ω,则由电流表内阻引起的系统相对误差为

有同学会提出疑问:在乙方案中,为什么不考虑电压表内阻RV对系统误差产生的影响呢?此方案中的电流表相当于电源的一部分,r＋RA相当于电源内阻.电压表测量的是该“等效电源”的路端电压;电流表的示数为流经该“等效电源”的电流值.该方案测得数据为该“等效电源”的理想U-I图象.该“等效电源”电动势为E,内阻为r＋RA.所以电压表的内阻不会引起实验的系统误差.

2 高考实验迁移

2020年北京高考物理第16题如下:

用图5所示的甲、乙两种方法测量某电源的电动势和内阻(约为1Ω).其中R为电阻箱,电流表的内阻约为0.1Ω,电压表的内阻约为3kΩ.

图5

图6

(1)利用图5-甲实验电路测电源的电动势E和内阻r,实际测量的是图6中虚线所示“等效电源”的电动势E′和内阻r′.若电流表内阻用RA表示,请用E、r和RA表示出E′、r′,并简要说明理由.

(2)某同学利用图象分析图5-甲、乙两种方法中由电表内阻引起的实验误差.下面选项中,实线是根据实验数据(图甲:U＝IR,图乙:)描点作图得到的U-I图象;虚线是该电源的路端电压U随电流I变化的U-I图象(没有电表内阻影响的理想情况).

在下面4个选项中,对应图5-甲电路分析的U-I图象是______;对应图5-乙电路分析的U-I图象是______.

(3)综合上述分析,为了减小由电表内阻引起的实验误差,本实验应选择图5中的________(填“甲”或“乙”).

解析

(1)电源电动势为断路时两节点间的电压值.因为断路,电流为零,电流表电阻RA上无电压,r上无电压,所以该等效电源的电动势E′＝E.当两端短路时,短路电流短路电流还可表示为,等效电源的内阻r′＝r＋RA.

(2)采用图5-乙电路图,根据闭合电路欧姆定律,该方案中用电压表示数与电阻箱阻值之比得到电流值I,替换到欧姆定律表达式中,即与图1中甲方案直接用一个电流表来测量相同,所以采用图5-乙电路分析的U-I图象是A.

与图1-甲方案相比,2020年考题中只用了一块电表,但滑动变阻器换成了电阻箱.因为电阻箱阻值可直接读出,再根据欧姆定律就可以算出图5-乙中流经电阻箱的电流,或者算出图5-甲中电阻箱两端的电压.图1中甲、乙两种实验方案分别与真题中该同学的实验方案乙、甲相对应,本质上是相同的,由电表内阻引起的实验误差也相同.

由电压表内阻引起的系统相对误差

与图1中甲方案相同.如果电压表内阻越来越大,则实测U-I图象越来越靠近理想U-I图象,当电压表内阻趋于无限大时,则两图线重合.

如采用图5-甲实验方案,与图1-乙中实验方案相对应,由电流表内阻引起的系统相对误差:.所以采用图5-甲电路分析的U-I图象是C.

随着电流表内阻的减小,实测U-I图象越来越靠近理想U-I图象,当电流表内阻趋于零时,则两图线重合.

(3)综上所述,在测量干电池电动势E和内阻r时,甲方案中电动势E的测量不存在因电表内阻引起的系统误差,但内阻r的测量系统误差高达10%.乙方案虽然电动势E和内阻r的测量都存在系统误差,但均只有,故选取方案乙.

3 课外实验拓展

3.1 戴维南定理

戴维南定理给出了等效电源的电动势E′和内阻r′的计算方法.这里E′为等效电源断路时,两节点间的电势差;r′为将电源短路,电源去掉,内阻r仍保留在原位置,从两节点看进去的等效电阻.如某等效电源如图7-甲所示,利用戴维南定理求该等效电源(图7-乙)的电动势E′和内阻r′.求解等效电源的电动势E′,AB断路,则回路中电流如图7-丙所示.

图7

求解等效电源的内阻r′,如图8-丁所示,则

3.2 利用戴维南定理分析2020年北京高考物理第16题

图5中甲、乙等效电源分别对应图8的情况.

图8

图8-甲的等效电动势E′＝E;等效内阻r′为RA和r的串联电阻阻值,即r′＝RA＋r.图8-乙的等效电动势为等效内阻r′为RV和r的并联电阻阻值,即

3.3 拓展实验

测量水果电池的电动势和内阻.已知两只苹果串联形成的电池电动势E约1.5V,内阻r很大约为3kΩ.实验器材:电压表(0～3V,内阻RV约3kΩ),微安表(0～500μA,内阻RA约750Ω),电阻箱R(0～9999Ω),试分析如果仍然采取高考题给出的图5中甲、乙两种实验方案来测量该水果电池的电动势和内阻,其由于电表内置带来的相对误差大约是多少?

采用图5-甲实验方案25%.采用图5-乙实验方案.

比较两种实验方案,甲方案内阻的测量相对误差虽然小一些,但仍高达25%,因此两种方案都不合适.

图9

可以采用图9-甲所示的电路图,读出一组数据R1、U1和I1,由欧姆定律U1＝(R1＋RA)·I1,可以先求出RA.利用图9-乙方案作U-I图象得到直线截距即水果电池的电动势E及斜率k.由前述对图9-乙的误差分析可知,电源电动势不存在系统误差,而水果电池的内阻r＝|k|－RA,完全消除电表内阻带来的系统误差.

也可以先用图9-乙所示的电路图,读出一组数据R2、U2和I2,由电压表分流可知,先求出RV.再利用图10-甲作U-I图象,,得出该直线截距为b,斜率为k,即b＝,从而可求出两种方案都可以有效消除电表内阻带来的系统误差.