平均跟踪性质的一个注记

曾 鹏,李远飞, 李志青

(广东财经大学华商学院数据科学学院,广东广州510000)

§1 引 言

众所周知伪轨及其跟踪性质不仅成为动力系统研究的重要概念之一,更成为了动力系统理论研究的一个重要的工具.目前国内外学者对伪轨跟踪性质的研究仍然非常活跃,随着研究的深入发展以及实际应用的需要,各种跟踪性随伪轨概念的不同应运而生.如:平均跟踪[1-2],遍历跟踪[3],渐近平均跟踪[4],-跟踪和-跟踪[5]等.

研究发现,各种伪轨跟踪概念的产生主要有两个方面的改变:一方面改变所跟踪的伪轨,另一方面通过改变点所跟踪伪轨的时间集或距离的度量标准.

1988年,Blank[1-2]给出了平均跟踪性质的概念并证明了某些摄动双曲系统具有平均跟踪性质.自从平均跟踪性质的概念问世以来,受到了越来越多的学者关注[6-11].如牛应轩[6]证明了一个具有平均跟踪性质并且极小点稠密的映射是Syndetic传递和弱混合的;Sakai[7]分析了在二维闭曲面上满足平均跟踪性质的微分同胚的动力性状;赵俊玲[8]证明了紧致度量空间中有伪轨跟踪的Disatal同胚不具有平均跟踪性,并给出了平均跟踪性的同胚是极小的一个充分条件.

本文主要通过改变平均跟踪概念定义中所跟踪的伪轨,将跟踪平均伪轨换成跟踪遍历伪轨,得到了平均跟踪的一个等价定义,并且通过该等价定义得到了平均跟踪的相关性质,主要结论如下.

定理3.1设(X,f)是一个动力系统,则下列条件等价.

(1)f有平均跟踪性质;

(2)∀ε>0,∃δ>0,使得对f的任意一条遍历伪轨都能够被X中的某点ε-平均跟踪.

定理3.11设(X,f)是一个拓扑动力系统.如果存在正整数k≥2.使得fk有平均跟踪性质,则f也有平均跟踪性质.

定理3.12设(X,f)是一个拓扑动力系统.如果f有遍历跟踪性质,则f有平均跟踪性质.

§2 预备知识

§3 主要结果及证明

因此f有平均遍历跟踪性质.根据定理3.1,定理3.12成立.