微极流方程组强解的爆破准则

张 辉,程景顺

(安庆师范大学数理学院,安徽安庆246133)

§1 引 言

三维空间中不可压缩微极流(Micropolar Fluid)方程组描述如下:

其中u=(u1,u2,u3)表示速度场,p是压强,ω=(ω1,ω2,ω3)是微旋度场.µ,κ,γ,ν是各种粘性系数.

微极流方程组由Eringen[1]于1966年首次提出,方程组刻画了一些具体的物理现象,如:血液的流动,液晶分子运动等.由于微极流方程组的结构蕴含了Navier-Stokes方程的结构(χ=0,ω=0),因此相比较不可压缩Navier-Stokes方程组,微极流方程组的结构更加复杂.在三维不可压Navier-Stokes方程组的研究中一个重要的问题就是弱解的正则性问题,或者说强解的爆破性问题,从某种角度看,这是同一个问题.1962年Serrin[2]提出了一个关于速度场的正则性准则,即弱解u(t,x)满足

则弱解实际是唯一的强解.在Serrin工作的基础上,有许多数学家对其结果进行了改进和推广.特别地,能否在速度场或速度场梯度或旋度的部分分量上加上类似的条件成为近年来的研究热点[3-6];由于结构上的相似性,将Navier-Stokes方程的正则性准则推广到其他的流体力学方程组也是近期非常活跃的研究方向,从已获得的结果大致可以看出,正则性准则一旦涉及到部分分量的时候,情况就会变得复杂,例如在MHD方程的涉及部分分量的正则性准则中大多需要加入磁场的部分分量来平衡速度场缺失的分量,有兴趣的读者可以参考[7-11].关于微极流方程Lukaszewicz,Galdi等人[12-14]在全空间和有界区域上考虑了微极流方程组解的存在性与唯一性,近期陈琼蕾与苗长兴[15]在Besov空间考虑了微极流方程组的适定性问题,更多的结果请参阅相关文献.本文主要研究微极流方程的弱解的正则性准则或者强解的爆破准则;目前已经有一些涉及到速度场或压强项整体的相关的结论如[16-18]等,但很少有涉及部分分量的正则性准则,其主要原因是方程组的非线性项在做高阶估计的时会产生一些技术上困难.在文献[18]中原保全将Navier-Stokes方程组中的Besov空间型的Beal-Kato-Majda(BKM)爆破准则推广到了微极流方程,即如果速度场的旋度即:Ω=∇×u满足

则强解一定能够延拓到T=+∞.

本文的研究动机来源于章志飞,陈琼蕾关于涉及旋度部分的分量的Navier-Stokes方程正则性准则的工作[19].具体来说,利用文献中的方法结合微极流方程自身的结构优势,可以得到如下的结论.

定理1.1设(u0,ω0)∈Hs,s>1且∇·u0=0,(u,ω)∈C([0,T);Hs)∩C1((0,T);Hs)是方程组(1)的强解.如果

则(u,ω)能够延拓到T=+∞.

注定理的结果是对(2)的一个改进,但要指出这个结果对于MHD方程组来说目前还是一个公开问题.相对于MHD方程组或其他的不可压流体方程组来说,注意到微极流方程组具有较好的方程结构,即可以不依赖于ω-方程的H1估计而仅仅依赖基本的能量估计就可以得到速度场的H1估计;因此这就避开了非线性项u·∇ω的旋度形式的估计.

简要回顾一下Littlewood-Paley分解和齐次Besov空间的定义,更详细的介绍可以参考[20-21].

§2 定理的证明

定理的证明分成两步,第一步是对(u,ω)做H1估计;第二步是对(u,ω)做Hs,s>1估计.